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1、1/58计算方法计算方法四四上节课内容回顾拉格朗日拉格朗日( (Lagrange)Lagrange)插值多项式插值多项式 Ln(x)的构造:lj (x)在n+1个节点 x0 x1. xn上满足条件称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x), ,ln(x) 为节点 x0,x1,xn上的LagrangeLagrange插值基函数插值基函数。其中yj=f(xj). (j=0,1, ., n)1)构造 n 次插值基函数 lj (x) :2)构造 n 次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式Ln (x) :2/58计算方法计算方法四四拉格朗日插值多项式形式对称，计 算较方便, 易于编程。但由于Ln(x
2、)依赖 于全部节点，若计算出所有插值基函数 lj(x)后又需要增加节点，则必须重新计 算,原来计算的结果都不能用，造成资 源浪费，计算量也大。为了克服这个缺 点，我们引进牛顿差商插值多项式3/58计算方法计算方法四四为了使插值多项式具有承袭性，我们只需对Lk(x) 作一个修正，设：gk (x)=Lk(x)-Lk-1(x)显然，gk (x)是一个次数不超过k的多项式，且有： gk (xj)=Lk(xj)-Lk-1(xj) =f(xj)-f(xj)=0(j=0,1,2,k-1)即gk (x)有k个零点x0,x1,xk-1，因而gk (x)可表示为 如下形式：gk (x)=ak(x-x0)(x-x1
3、)(x-x2)(x-xk-1)其中ak为待定系数。 再由gk (x)=Lk(x)-Lk-1(x)可得： Lk(x)=Lk-1(x)+ak(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xk-1)一、引言:牛顿插值公式的构造思路4/58计算方法计算方法四四以此为递推公式，可得：其中ak为待定系数，可由下列插值条件来确定：Ln(xj)=f(xj) (j=0,1,2,n)Lk(x)=Lk-1(x)+ak(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xk-1)5/58计算方法计算方法四四将x=x0代入，得： Ln(x0)=a0=f(x0) ，将x=x1代入， Ln(x1)=a0+a1(x1-x0) )=f(x1
4、) ，解得：将x=x2代入， Ln(x2)=a0+a1(x2-x0) +a2(x2-x0 ) (x2-x1) =f(x2) 解得：6/58计算方法计算方法四四依次递推，可以得到a3，a4，an。这个系数是有 规律的，为写出ak的一般形式，引入差商定义。当x=x2时， Ln(x2)=a0+a1(x2-x0) +a2(x2-x0 ) (x2-x1) =f(x2) 或7/58计算方法计算方法四四二、差商及其性质定义4.3 设已知函数f(x)在n+1个互异节点x0,x1 ，.，xn上的函数值如下：称为函数f(x)关于节点xi, xj的一阶差商或均差, 记为f xi,xj, 即1、差商的定义及计算节点x
5、i,xj可以 是不相邻的8/58计算方法计算方法四四称一阶差商f xi,xj和f xj,xk的差商为函数f(x)关于节点xi,xj,xk的二阶差商或均差，记 为f xi,xj,xk，即一般地，称k-1阶差商的差商为k阶差商或均差，即n阶差商特别地，f(xi)为f(x)的零阶差商，记为fxi。9/58计算方法计算方法四四函数f(x)的一阶差商f(x) n阶差商f(xi)为f(x)的零阶差商，记为fxi。f(x) 二阶差商三个节点xi,xj,xk二个节点xi,xjn+1个节点 x0,x1 ，.，xn10/58计算方法计算方法四四差商表xiyi f xi一阶差商 f xi,xj二阶差商 f xi,x
6、j,xk.n阶差商 f x0,x1,.xn.差商的计算x0x1x2x3.xn-1xnf (x0)f (x1)f (x2)f (x3).f (xn-1) f (xn)f x0,x1f x1,x2f x2,x3f xn-2,xn-1f xn-1,xnf x0,x1,x2f x1,x2,x3f xn-3,xn-2,xn-1f xn-2,xn-1,xnf x0,x1,.xn11/58计算方法计算方法四四例1 设函数y=f(x)在对应点的函数值为xi-100.5yi=f(xi)123计算f(x) 的各阶差商。xiyifxi,xjfxi,xj,xk-11020.53解:构造差商表1 22/3f x0,x1
7、f x1,x2f x0,x1,x212/58计算方法计算方法四四性质1这种性质称为差商的对称性。性质2 差商的值与节点排列顺序无关 .性质3差商的性质(由数学归纳法证明)(由罗尔定理证明)注：性质1给出了差商与函数值的关系13/58计算方法计算方法四四三、牛顿插值公式的构造将插值条件： Ln(xj)=f(xj) (j=0,1,2,n)代入Ln(x)来确定其中的待定系数ak ，可得：由递推公式，得：a0=f(x0)=f x0,x1=f x0,x1,x214/58计算方法计算方法四四=f x0,x1,xk(k=0,1,2,n)即： Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fxo,x1,.
8、,xn(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) (*)将ak代入可得n次插值多项式Ln(x)，将其记为Nn(x)，下面用差商表来求牛顿插值多项式称其为n次牛顿插值多项式系数恰好为f(x)关于n+1个节点x0,x1 ，.，xn的各阶差商15/58计算方法计算方法四四差商表xyf(xi,xj)f(xi,xj,xk).f(x0,x1,.xn)x0x1y1x2y2f(x1,x2)x3y3f(x2,x3)f(x1,x2,x3).xnynf(xn-1,xn)f(xn-2,xn-1,xn).带下划线的数值就是牛顿插值多项式中的各项系数akf x0 f x0,x1f x0,x1,x2 f x0,x1,
9、.xn 16/58计算方法计算方法四四例2: 给定函数f(x)=lnx的数据表解: 1)先写出四阶差商表xi2.202.402.602.803.00 f(xi)0.788460.875470.955511.029621.09861 1) 写出四次Newton差商插值多项式N4(x) 2)用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值17/58计算方法计算方法四四有：N4(x)= 0.78846+0.43505(x-2.20）- 0.087125(x-2.20)(x-2.40)+0.02167(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00599(x-2.20)(x-2.
10、40)(x-2.60)(x-2.80)18/58计算方法计算方法四四N2(x)=0.87547+0.40020(x-2.40)-0.074125(x-2.40)(x-2.60) 2)用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值f(2.65) N2(2.65)0.97459xi2.202.402.602.803.00 f(xi)0.788460.875470.955511.029621.09861构造二阶差商表19/58计算方法计算方法四四四、牛顿插值余项：定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= f x0,x1,xn,x n+1(x)其中n+1(x）=(x-x0)(x
11、-x1)(x-x2)(x-xn)证明:显然当x=xi时,有:Rn(xi)=0,n+1(xi)=0有等式成立.取x是a,b中异于x0,x1,xn的任一点则以n+2个节点x0,x1,xn,x 的n+1次插值多项式为Nn+1(t)=Nn(t)+f xo,x1,xn,x n+1(t)当t取节点x 时,有Nn+1(x)=f (x)20/58计算方法计算方法四四f (x)=Nn+1(x)=Nn(x)+f xo,x1,xn,x n+1(x)f (x) - Nn(x) =f xo,x1,xn,x n+1(x)即:Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= f x0,x1,xn,x n+1（x）由差商的一个性
12、质代入上式即得余项:拉 格 朗 日 插 值 余 项牛 顿 插 值 余 项21/58计算方法计算方法四四即插值余项是一样的注：误差的计算与拉格朗日 插值误差相同，用上述公式 计算。而拉格朗日插值余项也为牛顿插值余项拉格朗日插值 余项22/58计算方法计算方法四四注：由Rn(xi)=0 (i=0,1,2,.,n)，得：Nn(xi)=f(xi) 再由n次代数插值多项式是存在且唯一的知：Nn(x)Ln(x) 即Newton插值与Lagrange 插值只是形式上不 同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是 完全一样的，且余项也一样。Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+ fxo,x1,x3(x-x0)(x-x1)(x- x2) +fxo,x1,.,xn(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) (*)23/58计算方法计算方法四四作业P108 4、5(新教材)作业P30 2
