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1、 ABCKIO第一部分【几个著名定理】1.梅渑芳斯CJMeneftmss定理设A4BC的边AB,BC,CA或其延长线分别交于点口O.R,七有奇数个点在边的延长线上(如哈)则P,Q,R三线的充要条,4PBOCR件是:一=二不AC.BD并当且仅当网边形ABCD内接于圆时,等号成立。辽口4西姆松定理:P是A4BC的外接圆O上的任意一点,PEl48,PD1BC,PF_LC4,垂足为一、,则丁、于三点共线.西姆松的逆定理,伊一点P向A4BC的三边或延长线作垂线,若其垂足L,AMf,N在同一直线上,则点习在A4BC的外接四上。例1.以人4BC的底边BC为直径作半园,分别与AB、AC交于点D和E,分别过D、
2、E作BC的垂线,垂足依次为F、G,线段DG和EF交于点M,求证:AMLBC(IMO-37国家队选拔题)4丨x人:设真织AM与BC交于H3刘知人BECBDC900,AiCH祉敲,汽】LGMD5伟78D_园代RADBC与RMAEBC个f有8年H一cCD=BC.FC,BE=BC.BGCF_CD*ED怀胭D即一=,代入上式180仁博4D_CD,AAABEcoAACD,一=c入上式御月厉“版代入上式得印_CD即_8us_DF_DMi服E8G,从而MHD历DFBC,刘MHL_BC,政AMBC证法二,作高AH,连BB,CD,则人BEC一BDC+90丁是DF=BD.sinL五BC.cosB.sinB,EG=B
3、C.eosLCvsinLC所以PF_DM_sin6.eos6_4Ceos6EG4G。sinLC.eosC4B8cosLC又BH=4B.eosB.HC=-45.eosC所以Y_48.eos8_4CceosB5HG“4.cosC“4D-eosLC1B_4C.DM4B_DM,48FG4DMG4CMG4DBH.GAMD4_HGAMLD4B。对人BDG应用梅氏定理逗;由AH,BC,故AM1BC知H,M,A三点共线侃2.如命,在锐角三角形4BC的BC边上有两点又、几满足人B4E=C4F,作FM4B,FV4C(M、X是垂足,延长4交三角形4BC的外接圆于口.证朋:四边形4MDM与三角形48C的面积相等.0K
4、K一厂证明:设人B4E=丿C4Fd,E4dF-则S,三二M4Dsin+真4D.4UVsin(d+月)N一=二4D4Fcos(x+5sina+4Fcossin(+)4D.4Fsin(2十厂三熹斗D/萝|心口|一1.j历ainr1,ain,上乏立Z蘑F别(亿十/叠)十Z(.4Psin3.C4B.CD+4C.BD)4一汀托羿密定理可知:48.CD+4C.BD=4D.BC,故结论1E匹条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆点,世申洪点向匹条直线所作垂线的垂足在一条直已知:四条直线AB,BC,CD,DA中,AB交CD于点E,BC交AD于点F求证:A4DE,A4BFR,ABCE,ACDF的外接圆祖交于一.昆洗点向匹条直线所作垂线的垂足在一条直线上.
