第20讲_随机事件的概率与古典概型

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1、第 1 页 共 8 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 20）随机事件的概率与古随机事件的概率与古典概型典概型一课标要求：一课标要求： 1在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概 率的意义以及频率与概率的区别； 2通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式； 3通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所 含的基本事件数及事件发生的概率。 二命题走向二命题走向 本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些 计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性

2、。 预测 07 年高考： （1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考 察，多以选择题、填空题形式出现； （2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际 应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。 三要点精讲三要点精讲 1随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 （1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； （2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2随机事件的概率事件 A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率总接近于某个常nm数，在它附近摆

3、动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P（A） 。 由定义可知 0P（A）1，显然必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0。 3事件间的关系 （1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； （3）包含：事件 A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B（或事件 B 包 含事件 A） ； 4事件间的运算 （1）并事件（和事件） 若某事件的发生是事件 A 发生或事件 B 发生，则此事件称为事件 A 与事件 B 的并 事件。 注：当 A 和 B 互斥时，事件 A+B 的概率满足加法公式：P（A+B）

4、=P（A）+P（B） （A、B 互斥） ；且有 P（A+）=P（A）+P（）=1。AA第 2 页 共 8 页（2）交事件（积事件） 若某事件的发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生，则此事件称为事件 A 与事件 B 的交事件。 5古典概型 （1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2） 每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=；总的基本事件个数包含的基本事件个数A一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事 件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成

5、,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某n1个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P（A）=。nm四典例解析四典例解析 题型 1：随机事件的定义 例 1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1） “抛一石块，下落”. （2） “在标准大气压下且温度低于 0时，冰融化” ； （3） “某人射击一次，中靶” ； （4） “如果 ab,那么 ab0”; （5） “掷一枚硬币，出现正面” ； （6） “导体通电后，发热” ； （7） “从分别标有号数 1，2，3，4，5 的 5 张标签中任取一张，得到 4 号签” ； （8） “

6、某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ； （9） “没有水份，种子能发芽” ； （10） “在常温下，焊锡熔化” 解析：根据定义，事件（1） 、 （4） 、 （6）是必然事件；事件（2） 、 （9） 、 （10）是不 可能事件；事件（3） 、 （5） 、 （7） 、 （8）是随机事件。 点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以 区分。例 2 （1）如果某种彩票中奖的概率为，那么买 1000 张彩票一定能中奖吗？10001请用概率的意义解释。 解析：不一定能中奖，因为，买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验，因为每次试验 的结果都是随机的，即每张彩票可

7、能中奖也可能不中奖，因此，1000 张彩票中可能没有 一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。 点评：买 1000 张彩票，相当于 1000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所 以做 1000 次试验的结果也是随机的，也就是说，买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 （2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知第 3 页 共 8 页识解释其公平性。 解析：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是 0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率 都是 0.5。 点评：这个规则是公平的，因为每个运动员

8、先发球的概率为 0.5，即每个运动员取 得先发球权的概率是 0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规 则都是公平的。 题型 2：频率与概率 例 3某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率）种子粒数251070130310700150020003000 发芽粒数24960116282639133918062715 解析：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是： 1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的 增加，菜籽发芽的频率越接近于 0.9，且在它附近摆动

9、。故此种子发芽的概率为 0.9。 点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。 例 4进行这样的试验：从 0、1、2、9 这十个数字中随机取一个数字，重复进 行这个试验 10000 次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括 10000 个数 字的“随机数表”在这个随机数表里，可以发现 0、1、2、9 这十个数字中各个 数字出现的频率稳定在 0.1 附近现在我们把一个随机数表等分为 10 段，每段包括 1000 个随机数，统计每 1000 个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果：段序：n=100012345678910出现“7” 的频数958895112959982

10、89111102出现“7” 的频率0.0950.0880.0950.1120.0950.0990.0820.0890.1110.102由上表可见，每 1000 个随机数中“7”出现的频率也稳定在 0.1 的附近这就是频 率的稳定性我们把随机事件 A 的频率 P(A)作为随机事件 A 的概率 P(A)的近似值。 点评：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试 验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意 义上说是很繁琐的。 题型 3：随机事件间的关系 例 5 （1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件 是（ ）

11、（A）至多有一次中靶（B）两次都中靶 （C）两次都不中靶（D）只有一次中靶第 4 页 共 8 页答案：C。 点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。 （2）把标号为 1，2，3，4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人 分得一个。事件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是（ ） （A）互斥但非对立事件（B）对立事件 （C）相互独立事件 （D）以上都不对 答案：A。 点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做 互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。 例 6 （2006 天津文，18）甲、乙两台机床相

12、互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是乙机床产品的正品率是。0.9,（I）从甲机床生产的产品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品的概率（用数字作答） ；（II）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率 （用数字作答） 。 （I）解：任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为22 33(2)0.90.10.243.PC（II）解法一：记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A， “任取乙机床的 1 件 产品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件，其中至少有 1 件正品的概率为：( . )( . )( . )0.9 0.950

13、.9 0.050.1 0.95P ABP ABP AB0.995.解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为： 1( . )1 0.1 0.050.995.P AB 点评：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际 问题的能力。 题型 4：古典概率模型的计算问题 例 7从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b1的三件产品中，每次任取一件，每次取 出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事 件有 6 个，即（a1，a2）和， （a1，b2） ， （a2，a1） ， （a2，b1

14、） ， （b1，a1） ， （b2，a2） 。其中 小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示 “取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件， 则 A=（a1，b1） ， （a2，b1） ， （b1，a1） ， （b1，a2），事件 A 由 4 个基本事件组成，因而，P（A）=。6432点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥 的；（2）m 为事件 A 所包含的基本事件数，求 m 值时，要做到不重不漏。第 5 页 共 8 页例 8现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品： （1）如果从中取出一件，然后

15、放回，再取一件，求连续 3 次取出的都是正品的概 率； （2）如果从中一次取 3 件，求 3 件都是正品的概率。 分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。 解析：（1）有放回地抽取 3 次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则 x,y,z 都有 10种可能，所以试验结果有 101010=103种；设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ，则包含的基本事件共有 888=83种，因此，P(A)= =0.512。33108（2）解法 1：可以看作不放回抽样 3 次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记 录（x,y,z） ，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，所以试验

16、的所有结果为 1098=720 种设事件 B 为“3 件都是正品” ，则事件 B 包含的基本事件总数为876=336, 所以 P(B)= 0.467。720336解法 2：可以看作不放回 3 次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，但（x,y,z） ， （x,z,y） ， （y,x,z） ， （y,z,x） ， （z,x,y） ， （z,y,x） ，是相同的，所以试验的所有结果有 10986=120， 按同样的方法，事件 B 包含的基本事件个数为 8766=56，因此 P(B)= 0.467。12056点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看 作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则 会导致错误。 题型 5：利用排列组合知识解古典概型问题 例 9