《高数期末1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数期末1.1（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念一 多元函数的定义二 多元函数的极限与连续性1 1第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用一 多元函数的定义（1）邻域1 有关区域的概念定义2 2第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用（2）区域例如，即为开集3 3第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用4 4第一节第一节 多
2、元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用连通的开集称为区域或开区域 例如，例如，连通的不是开集是开集不是连通的不是闭区域的例子：去掉边界不是开区域5 5第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用有界闭区域；是无界开区域例如，6 6第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点7 7第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元
3、函数的微分法及其应用微分法及其应用点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合8 8第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用2 n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式 元数 称为维空间中的一个点，而每个 组设为取定的一个自然数，我们称 数组的全体为维空间，元为该点的第个坐标.数称设两点为定义9 9第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用n维空间中邻域、区域等概念特殊地当内点、边界点、区域
4、、聚点等概念也可定义邻域：时，便为数轴、平面、空间两点间的距离1010第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用设是 平面上的一个点集，如果对于每个 点3 多元函数的定义元函数的定义，记为定义(1) 二元函数的定义是的二元函数，则称或变量按照一定的法则值和它对应，总有唯一确定的其中称为函数的定义域，称为函数的自变量， 称为函数的因变量。说明如果将换成中的点集， 相应的可得出元函数统称为多元函数.1111第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例1 求解所求定义域为的定义
5、域1212第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用(2) 二元函数的图形设函数的定义域为 对应的函数值这个点集称为二元函数的图形.对于任意取定的为纵坐标、为竖坐标在空间就确这样以为横坐标、定一点当 取遍个空间点集 时，得一二元函数的图形通常是一张曲面. 1313第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例如,1414第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例如,(3) 多值函数 在函数的定义中要求对每个按照
6、一确定 法则有唯一的一个数与对应，但在实际问题中经常存在多个数与对应，这样的对应关系称为多值函数，因此 我们说由确定 了一个多值函数。 对于多值函数可分成几个 (单值)函数来讨论， 例如,可分成对于每个点有两个确定的数和与之对应，和讨论。 1515第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用1 多元函数的极限二 多元函数的极限与连续性定义是其聚点，总存在正数使得对于适合不等式的一切点，且都有成立，在时的极限，或这里如果对于任意给定的正数为函数称 记为则的定义域为设函数1616第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元
7、函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似确定极限不存在可以找多种趋向于的路径，且的极限不相等。（4）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限1717第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例2 求证 证当 时，原结论成立1818第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例3 求极限 解其中1919第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元
8、函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例4 证明证取其值随k的不同而变化，故极限不存在不存在2020第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用类似可以定义元函数的极限定义 设元函数的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式的一切点都有成立，则称元函数在时的极限，为记为 2121第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用2 多元函数的连续性定义设元函数的定义域为点集如果则称元函数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，在点处不连续，如果是函
9、数的间断点.则称如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D上连续.是其聚点且2222第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例5 讨论函数在(0,0)处的连续性解故函数在(0,0)处连续 2323第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用函数在点(0 , 0) 极限不存在 , 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周2424第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用多元初等函数：由多元多项式
10、及基本初等函数经 过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式 子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2525第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用例6解例7 求函数的连续域.解:2626第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念第八章第八章 多元函数的多元函数的微分法及其应用微分法及其应用闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取 得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取 得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间 的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理2727
