[工学]自动控制理论 第三章

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1、第三章 控制系统的时域分析由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们 往往关心状态及输出对时间的响应。对系统外施一给往往关心状态及输出对时间的响应。对系统外施一给 定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的 性能，这就是控制系统的时域分析。性能，这就是控制系统的时域分析。 控制系统在控制系统在典典 型输入信号型输入信号作用下的作用下的动态过程的品质及稳态性能动态过程的品质及稳态性能直接直接 表征了系统的优劣。表征了系统的优劣。系统的稳定性系统的稳定性是系统正常工作的是系统正常工作的 首要条件，系

2、统的稳定性完全由首要条件，系统的稳定性完全由系统自身的结构和参系统自身的结构和参 数决定数决定，而与系统的输入无关；系统的，而与系统的输入无关；系统的稳态误差稳态误差是系是系 统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统 的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。Date北京邮电大学信息工程学院知识要点知识要点: :系统稳定的充分必要条件，系统稳定的充分必要条件，RouthRouth判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型别，线性定常一阶、二阶系统数及系统的

3、型别，线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，的时域响应及动态性能的计算，复合控制复合控制。Date北京邮电大学信息工程学院1.1.典型输入信号典型输入信号 为了便于对系统进行分析，设计和比较，根据系为了便于对系统进行分析，设计和比较，根据系 统常遇到的输入信号形式。在数学描述上加以理统常遇到的输入信号形式。在数学描述上加以理 想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃、控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃、 单位斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线）单位斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线） 函数

4、、单位脉冲函数和正弦函数。函数、单位脉冲函数和正弦函数。 3 3- -1 1 时域分析的基本概念时域分析的基本概念 Date北京邮电大学信息工程学院Date北京邮电大学信息工程学院2. 2.系统的时间响应系统的时间响应1 1）瞬态响应）瞬态响应指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程动态过程或过渡过程。 瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度及阻尼情 况等信息。况等信息。 2 2）稳态响应）稳态响应 指系统在典型输入信号

5、作用下，当时间指系统在典型输入信号作用下，当时间t t趋于无穷时，系趋于无穷时，系 统输出量的表现方式。稳态响应又称统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程稳态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。Date北京邮电大学信息工程学院（1 1）从微分方程解的角度来看）从微分方程解的角度来看（2 2）从传递函数的角度来看）从传递函数的角度来看系统在零初始条件下的时间响应中，与传递函数极系统在零初始条件下的时间响应中，与传递函数极 点对应的时间响应称为瞬态分量，与输入信号极点点对应的时间响应称为瞬态分量，与输入信号极点 对应的时间响应分量称为稳态分量。

6、对应的时间响应分量称为稳态分量。 Date北京邮电大学信息工程学院重要性质重要性质： 系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号 响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统 对该输入信号响应的积分；对该输入信号响应的积分； 单位冲击响应单位冲击响应 3 3 稳态性能指标稳态性能指标 采用稳态误差采用稳态误差e essss来衡量，其定义为：当时间来衡量，其定义为：当时间t t 趋于无穷趋于无穷 时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即 Date北京邮电大学信

7、息工程学院1上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值 的 时间 ,即阶跃 响应曲线从t=0开始第一次上 升到 稳态值所需要的时间。 （参见图3-1-2）4 动态性能指标 Date北京邮电大学信息工程学院2. 峰值时间tp： 从零时刻到达峰值的时间，即 阶跃响应曲线 从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间. 3.最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳 态值之比，即 Date北京邮电大学信息工程学院4. 4. 调整时间调整时间t ts s：阶跃响应曲线进入允许的误阶跃响应曲线进入允许的误 差带差带( (一般取稳态值附近一般取稳态值附近5%5%或或2%2%作为误作为误 差带差带) )

8、并不再超出该误差带的最小时间，称并不再超出该误差带的最小时间，称 为调整时间为调整时间( (或过渡过程时间或过渡过程时间) )。 5. 5. 振荡次数振荡次数：在时间在时间 内，单位阶内，单位阶 跃响应穿越其稳态值次数的一半，定义为跃响应穿越其稳态值次数的一半，定义为 振荡次数，记为。振荡次数，记为。 Date北京邮电大学信息工程学院1 +1 +1 -1 -Date北京邮电大学信息工程学院 3-2 控制系统的稳定性 稳定性稳定性：若控制系统在初始条件或扰动影响下，其若控制系统在初始条件或扰动影响下，其 瞬瞬 态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称则

9、称 系系 统稳定；反之，不稳定。统稳定；反之，不稳定。 控制系统能在实际中应用，其首要条件是控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统保证系统 具具 有稳定性有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界或其内。不稳定的控制系统，当受到外界或其内 部部 一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变 化化 等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态，等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态， 即即 使在扰动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状使在扰动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状 态。态。 控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，控制系统的稳定性

10、取决于系统本身的结构和参数， 与与 外加信号无关。外加信号无关。Date北京邮电大学信息工程学院1 线性定常系统稳定的充要条件 设设n n阶线性定常系统的微分方程为阶线性定常系统的微分方程为 对对对对式作拉氏式作拉氏变换变换变换变换 ，得，得Date北京邮电大学信息工程学院令令R R( (s s) )= =0 0，得到在初始状得到在初始状态态态态影响下系影响下系统统统统的的时间时间时间时间 响响应应应应 （即零即零输输输输入响入响应应应应）为为为为若若p pi i为系统特征方程为系统特征方程D D( (s s) )= =0 0的根且当的根且当p pi i各不相各不相 同时，有同时，有若系若系统

11、统统统所有特征根所有特征根p pi i的的实实实实部均部均为负值为负值为负值为负值 ，即，即ReRe p pi iaa0 0a a3 3 Date北京邮电大学信息工程学院例例 3-2 3-2 已知系已知系统统统统特征方程特征方程方程无缺方程无缺项项项项，且系数大于零。，且系数大于零。列劳斯表：列劳斯表：劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即 所所 有特征根均在有特征根均在s s平面的左半平面。平面的左半平面。 Date北京邮电大学信息工程学院例例 3-3 3-3 系系统统统统特征方程特征方程为为为为 各各项项项项系数均大于零。系数均大于零。列劳斯表

12、：列劳斯表： 劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定 第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面 的根。的根。 Date北京邮电大学信息工程学院例例 3-4 3-4 系统特征方程系统特征方程 它有一个系数为负的，由劳斯判据知系统不稳它有一个系数为负的，由劳斯判据知系统不稳 定。但究竟有几个右半平面的根，仍需列劳斯定。但究竟有几个右半平面的根，仍需列劳斯 表：表：劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2 2个个 右半平面的根右半平面的根 Date北京邮电大

13、学信息工程学院两种特例的处理： RouthRouth表第一列出现零元素表第一列出现零元素例例3.5 3.5 系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。半平面。Date北京邮电大学信息工程学院两种特例的处理两种特例的处理：RouthRouth表中某一行全为零表中某一行全为零例例3.6 3.6 当当k k = 8= 8时，时，RouthRouth表的表的s s1 1行全为零行全为零 ，可以由可以由s s1 1行的前行的前 一行（一行（s s2 2行）的系数得到辅助多项式行）的系数得到辅助多项式 。辅助多项式辅助多项式Date北京邮电大学信

14、息工程学院即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从 工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。对辅助多项式求导，得对辅助多项式求导，得 ，用系数，用系数4 4、 0 0替代替代s s1 1行的行的0 0、0 0，改造后的，改造后的RouthRouth表为表为 系统没有位于系统没有位于s s 平面右半平面平面右半平面 的特征根。的特征根。Date北京邮电大学信息工程学院例例3-7 3-7 系系统统统统的特征方程的特征方程为为为为 列劳斯表：列劳斯表：劳劳劳劳斯表中第一列元素符号改斯表中第一列元素符号改变变变变一次，系一

15、次，系统统统统不不 稳稳稳稳 定，且有一个右半平面的根，由定，且有一个右半平面的根，由P P( (s s) )= =0 0得得Date北京邮电大学信息工程学院3 系统参数对稳定性的影响 应应应应用用劳劳劳劳斯判据不斯判据不仅仅仅仅可以判断系可以判断系统统统统的的稳稳稳稳定性，定性， 还还还还 可以用来分析系可以用来分析系统统统统参数参数对对对对系系统稳统稳统稳统稳 定性的影响定性的影响 。 例例3-8 3-8 系系统结统结统结统结 构构图图图图如如图图图图所示，所示，试试试试确定系确定系统稳统稳统稳统稳 定定时时时时 K K的取的取值值值值范范围围围围 解解 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函

16、数 其特征方程式为其特征方程式为 Date北京邮电大学信息工程学院列劳斯表列劳斯表 按按劳劳劳劳斯判据，要使系斯判据，要使系统稳统稳统稳统稳 定，定，应应应应有有KK0 0，且，且 3030-K-K0 0，故，故K K的取的取值值值值范范围为围为围为围为 0 01时，系统有两个不相等的负根，称为过阻尼状态。 两个不相等的两个不相等的负实负实负实负实 根根为为为为单单单单位位阶跃阶跃阶跃阶跃 响响应应应应Date北京邮电大学信息工程学院当当 时，时，当当 时，二阶系统可转化为一阶系统。实践时，二阶系统可转化为一阶系统。实践 表明，只要表明，只要 ，这种近似就认为是允许的，这种近似就认为是允许的系统的过渡过程时间系统的过渡过程时间 系统的超调量系统的超调量 Date北京邮电大学信息工程学院2. 当01时当01时当=1时 当=0时 Date北京邮电大学信息工程学院例例3-12 3-12 原控制系原控制系统统统统如如图图图图 (a