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1、随机事件及其概率随机事件及其概率1.11.1 随机事件随机事件习题习题 1 1 试说明随机试验应具有的三个特点习题习题 2 2 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A，B，C 分别表示“第一次出现正面” ， “两次出现 同一面” ， “至少有一次出现正面” ，试写出样本空间及事件 A，B，C 中的样本点.1.21.2 随机事件的概率随机事件的概率1.31.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.41.4 条件概率条件概率1.51.5 事件的独立性事件的独立性复习总结与总习题解答复习总结与总习题解答习题 3. 证明下列等式：习题 5.习题 6.习题 7习题 8习题 9习题 10习题 11习题 12
2、习题 13习题 14习题 15习题 16习题 17习题 18习题 19习题 20习题 21习题 22习题 23习题 24习题 25习题 26第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.12.1 随机变量随机变量习题习题 1 1 随机变量的特征是什么？解答：解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题习题 2 2 试述随机变量的分类.解答：解答：若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若 X 的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上
3、取值，则称 X 为连续型随机变量.习题习题 3 3 盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2,9, 从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：解答：分别用 1,2,3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间S=1,2,3, 定义随机变量 X 如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则 X 取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于 5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于 5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于 5=4/10
4、.2.22.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布习题习题 1 1 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 .解答：解答：由 PX=1=PX=2, 得e-=2/2e-,解得 =2.习题习题 2 2设随机变量 X 的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P123.解答：解答：(1)P123=PX=4+PX=5=415+515=35.习题习题 3 3已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定常数 c, 并计算PX60, 即 PX20,PX20=PX=30+PX=
5、40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6.习题习题 6 6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以 0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m 件，则 m 应满足PXm=0.6
6、,即 PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得 m4.855,因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5.习题习题 7 7 设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1.X=0 表示未投中，其概率为 p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题习题
7、 8 8 某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中次品的概率分布.解答：解答：设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120, PX=3=C33C103=1120.X 的分布律为X 0123 P 3512036120211201120习题习题 9 9 一批产品共 10 件，其中有 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数
8、X 的概率分布.解答：解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以 X 的可能取值是所有正整数 1,2,k,.设第 k 次才取到正品(前 k-1 次都取到次品), 则随机变量 X 的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题习题 1010 设随机变量 Xb(2,p),Yb(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1.解答：解答：因为 Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以 p=1/3.因为 Yb(3,p), 所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27
9、.习题习题 1111 纺织厂女工照顾 800 个纺绽，每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间内断头次数不大于 2 的概率.解答：解答：以 X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.习题习题 1212 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：解答：becausePX=1=PX
10、=2, 即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.32.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数习题习题 1 1F(X)=0,x0.5,P1.70.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.700,x0,试求：(1)A,B 的值；(2)P-100,x0.习题习题 4 4 服从拉普拉斯分布的随机变量 X 的概率密度 f(x)=Ae-x, 求系数 A 及分布函数 F(x).解答：解答：由概率密度函数的性质知，-+f(x)dx=1, 即-+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex-0+(-Ae-x0
11、+)=A+A=2A或 -+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2.从而 f(x)=12e-x,-150=150+f(x)dx=150+100x2dx=-100x150+=100150=23,从而三个电子管在使用 150 小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题习题 6 6 设一个汽车站上，某路公共汽车每 5 分钟有一辆车到达，设乘客在 5 分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的 10 位乘客中只有 1 位等待时间超过 4 分钟的概率.解答：解答：设 X 为每位乘客的候车时间，则 X 服从0,5上的均匀分布. 设
12、 Y 表示车站上 10 位乘客中等待时间超过 4 分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是 10 重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数n=10,p=PX4=15=0.2,所以 PY=1=C1010.20.890.268.习题习题 7 7设 XN(3,22).(1)确定 C, 使得 PXc=PXc;(2)设 d 满足 PXd0.9, 问 d 至多为多少?解答：解答：因为 XN(3,22), 所以 X-32=ZN(0,1).(1)欲使 PXc=PXc, 必有 1-PXc=PXc, 即 PXc=1/2,亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0, 故 c=3.(2)由 PXd0.9
13、可得 1-PXd0.9, 即 PXd0.1.于是 (d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得 3-d21.282, 所以 d0.436.习题习题 8 8设测量误差 XN(0,102), 先进行 100 次独立测量，求误差的绝对值超过 19.6 的次数不小于 3 的概率.解答：解答：先求任意误差的绝对值超过 19.6 的概率 p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96)=1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.设 Y 为 100 次测量中误差绝对值超过 19.6 的次数，则 Yb(100,0.05).因为 n 很
14、大，p 很小，可用泊松分布近似，np=5=, 所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.习题习题 9 9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布 N(4000,3600).假定车间主任希望 10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：解答：用 X 表示工人每月需装配的产品数，则 XN(4000,3600).设工人每月需完成 x 件产品才能获奖，依题意得 PXx=0.1, 即1-PXx0.005.解答：解答：已知血压 XN(110,122).(1)PX10
15、5=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100x0.05, 求 x, 即 1-PXx0.05, 亦即 (x-11012)0.95,查表得 x-100121.645, 从而 x129.74.习题习题 1111 设某城市男子身高 XN(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于 0.01.解答：解答：XN(170,36), 则 X-1706N(0,1).设公共汽车门的高度为 xcm，由题意 PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99, 查标准正态表得 x-17062.33, 故 x183.98cm.因此，车门的高度超过 183.98cm 时，男子与车门碰头的机会小于 0.01.习题习题 1212 某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一
