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1、 在实际应用中，除了要研究事件A的概率P(A)之外，有时还需要研究在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。我们称这种概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，记为一、条件概率P(A|B)一般说来P(A|B) P(A)P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有 可能结果构成的集合就是B， B中共于是 P(A|B)= 1/3.容易看到P(A|B)有3个元素，它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集 A 中又如，向长方形S内随机均匀投点，若已知点落 在区域B内，求在此条件下点落在区域A内的概率 条件概率P(A
2、|B)实质就是缩减了样本空间上的事件的概率。由于已知事件B已经发生，原样本空间S缩减为B，在该空间上再进一步计算事件A发生的概率可以证明，在古典概型下，若P(B)0, 有设A、B是两个事件，且P(B)0，则称 2. 条件概率的定义为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率.3. 条件概率的性质设B是一事件，且P(B)0，则P(.|B)满足概率的 三条公理，即(1). 非负性：对任一事件A，0P(A|B)1;(2). 规范性： P (S | B) =1 ；(3). 可列可加性：设 A1,An互不相容，则条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质如（2） 在缩减的样本空间上计算 4. 条件概率
3、的计算 （1） 用定义计算:P(B)0掷骰子例：A=掷出2点， B=掷出偶数点P(A|B）=B 发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数在缩减样本空间 中A 所含样本点 个数解法1: 解法2: 应用定义在B发生后的 缩减样本空间 中计算例3 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等 品。从中取产品2次，每次任取一件，做不放回抽样 。设事件 B为“第一次取到的是一等品”，事件 A为“ 第二次取到的是一等品”，试求P(A|B). P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 二. 乘法公式公式（1）和（2）均称为概率的乘法公式或称 为概率的乘法定理如果 P(A)0，由条件概率公式得 P(AB)=P(
4、A)P(B|A) (2) 1. 定义 设有两个事件A，B，如果P(B)0，由条件概率公式得 乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)当P(A1A2An-1)0时，有P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)当P(AB)0，有例4 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决. 入场 券“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”解 我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3
5、,4,5.显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则 表示“第i个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.由于由乘法公式 = (4/5)(1/4)= 1/5也就是说“抽签与顺序无关.” 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1 第2个人都没有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球。这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第
6、三、四次取到红球的概率. 例5 波里亚罐子模型b个白球, r个红球于是b个白球, r个红球随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进 c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球.解: 设Ai=第i次取出是白球, i=1,2,3,4 表示事件“连续取四个球， 第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 用乘法公式容易求出当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.b个白球, r个红球B1B2B3B4B5B6B7B8A在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就 提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？定义 设S
7、为试验E的样本空间，B1,Bn为E的一组事件。若（1）B1,Bn互不相容，i=1,n （2）则称B1,Bn为样本空间S的一个划分。定理上式称为全概率公式 设S为试验E的样本空间， A 为E的事件，B1,Bn为S的一个划分，且P(Bi)0, i=1, n, 则证明： 因为B1,Bn为S的一个划分所以且互不相容故由概率的有限可加性和乘法公式得例6 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个 红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 求取得红球的概率.解：记 A =取得红球123Bi=球取自i 号箱,i=1, 2, 3; 易知Bi
8、是样本空间的一个划分由全概率公式可得代入数据计算得：P(A)=8/15某一事件A的发生有各种可能的原因（或途径，或前提条件） Bi ，i=1, 2, n。如果A是由原因Bi 所 引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(BiA)=P(Bi)P(A|Bi)由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .诸Bi是原因 A是结果B1B2B3B4B5B6B7B8A例7 发报机发出“.”的概率为0.6，发出“”的概
9、率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，将“”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一信号收为“.”的概率 实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因发 生可能性的大小.例8 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1231红4白记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球求P(A1|B)运用全概率公式 计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到1231红4白?二. 贝叶斯公式定理设S为试验E的样本空间， A 为E的事件，B1,Bn为S的一个划分，且P
10、(Bi)0, i=1, n, P(A)0，则有贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以 帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原 因.例9 某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方 法，把（真）合格品判为“合格品”的概率为 0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为 0.05。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率 据调查某地区居民的肝癌发病率为0.0004，例10有P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。现用甲肝蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表明不患肝癌；若呈阳性，表明患肝癌。由于技术和操作不完善等原因，是肝癌者未必检出阳性，不是肝癌者也有可能呈阳性反应。设事件A
11、表示“一居民检验出阳性”，根据经验，已知肝癌患者检出阳性的概率为P(A|B1)=0.99，非肝癌患者错检为阳性的概率为P(A|B2)=0.05。现设某人已检出阳性，问他患肝癌的概率是多少？若记“该地区一居民患肝癌”为事件B1 ,并记 总结：首先介绍了条件概率和乘法公式条件概率P(A|B)是在“事件B发生”这个条件下，事件A发生的概率.条件概率P(A|B)的计算可以在原样本空间下进行，也可以在缩减的样本空间下进行P(.|B)是概率，它满足概率的一切性质，请 大家回去将所有性质一一列出在条件概率的概念的基础上，我们介绍了两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.最后我们介绍了全概率公式设S为试验E的样本空间， A 为E的事件，B1,Bn为S的一个划分，且P(Bi)0, i=1, n, 则 将复杂事件A分解成若干互不相容的较简 单事件之和，然后求相应的概率. 做题时，注意将复杂事件表述出来，再来 寻找导致该事件发生的各种可能的原因（或途 径，或前提条件），由此找到S的划分。请思考以下问题：条件概率P(A|B)与P(A)的区别条件概率P(A|B)与P(A)数值的大小关系有没有P(A)=P(A |B)的情形，若有请举出例子作业： 13， 14， 15， 17，19，20
