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1、1$1不定积分的概念前言在第二章中讨论了求已知函数导数的问题, 在科学技术领域 中,还常常遇到相反的问题.即 已知一个函数的导数,如何求这个函数?如:一质点作非匀速直线运动的规律为 s=s(t),则在时刻t的速度反之,若已知质点运动的速度为v(t),如何求 质点的运动规律s=s(t)?这在数学上归结为求导运算的逆运算,称之 为不定积分法.2$1不定积分的概念例 S(t)是v(t)的原函数定义Definition ：一、原函数与不定积分的概念 Concept of antiderivative and indefinite integral3$1不定积分的概念原函数存在定理 theorem简言之
2、：连续函数一定有原函数.问题： (1) 原函数是否唯一？例（ 为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？4$1不定积分的概念关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 ，（2）若 和 都是 的原数，则（C 为某个常数）证Proof （C 为某个常数） 若F(x)是f(x) 的一个原函数，则F(x)+c就是 f(x)的全体原函数. (c为任意常数)5$1不定积分的概念任意常数积分号被积函数不定积分的定义：Definition of indefinite integral ：被积表达式积分变量6$1不定积分的概念例 Example 1 求解解例 Example 2 求7$1不定积分的概念例
3、 Example 3 设曲线通过点（1，2），且其上 任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求 此曲线方程.解 solution设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为8$1不定积分的概念显然，求不定积分得到一积分曲线族.Y=F(x)+C的图形是f(x)的全部积分曲线所构成的积分曲线族.积分曲线族里所有积分曲线在点x处的切线彼此平行，斜率均为f(x).如下图9$1不定积分的概念xyoxy=F(x)10$1不定积分的概念结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的.由不定积分的定义，可知如初等数学中:与与 arcsin(sinx)=x (x为弧度），sin(arcsinx)
4、=x(x为实数）乘方与开方互逆 指数与对数互逆11$1不定积分的概念实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.二、 基本积分表 Fundamental integral table 12$1不定积分的概念基本积分表是常数);说明：简写为，13$1不定积分的概念(或-arccotx+C)(或-arccosx+C)14$1不定积分的概念15$1不定积分的概念例 Example 4 求积分解根据积分公式（2）16$1不定积分的概念证Proof 等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、 不定积分的性质 Propertie
5、s of indefinite integral 17$1不定积分的概念例Example 5 求积分解Solution （性质（1）（2）称为线性性质，导数与积分都具有线性运算性质,但sin(x+y) sinx+siny,ln(x+y) lnx+lny都是非线性运算）18$1不定积分的概念例 Example 6 求积分解19$1不定积分的概念例 Example 7 求积分解例 Example 820$1不定积分的概念例9.例10.21$1不定积分的概念例11.例12.例13.22$1不定积分的概念例14例15例16（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否等于被积函数即可。）23$1不定积分
6、的概念例 Example 17 求积分解说明Directions ：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.24$1不定积分的概念解Solution 所求曲线方程为25$1不定积分的概念基本积分表 (1)不定积分的性质原函数的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系四、 小结 Brief summary26$1不定积分的概念思考题Consideration question符号函数 Sign function 在 内是否存在原函数？为什么 ？27$1不定积分的概念思考题解答Solution to consideration question不存在.假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数 .结论每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.28$1不定积分的概念练习题Exercises 29$1不定积分的概念30$1不定积分的概念31$1不定积分的概念练习题答案 Answers exercises32$1不定积分的概念33$1不定积分的概念
