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1、北京理工大学宇航学院力学系 韩斌26/II理论力学 B(11-2-d8c)(11-2-d8c)1（1）约束力的功 对于理想约束理想约束，约束力均不作功约束力均不作功(如固定光滑面的约 束力,不可伸长柔绳的约束,光滑铰支座,光滑铰链,纯滚 动时接触点的摩擦力和法向约束力)。DOA （2）刚体的内力由于刚体的内力总是成对出现，但刚体内任意两 质点的相对位移为零，故刚体的内力系的元功之 和总是为零，即刚体的内力系不作功。力的功小结2任意位置:O（3）弹性力的功 伸长量弹簧刚度系数k,原长 ,弹性力的元功：位置1位置2从位置1 到位置2 ,弹性力作的有限功：(位置1的弹 簧伸长量)(位置2的弹 簧伸长
2、量) 或引入弹性势能VT(注意弹簧未变 形时为势能零点):3重力的元功:重力的有限功:（4）重力的功或引入重力势能V重(注意势能零点为势能零点为O O点点, ,z z轴向上轴向上):O （5）作用在刚体上的主动力系的功设刚体受力系 作用刚体受力系作用的元功和有限功: 计算方法 1按功的定义 4设刚体受力系 作用，作平面运动刚体受力系作用的元功和有限功计算方法2:将力系简化力系的主矢力系对A点的主矩将所受力系向任选A点简化A找到A点的位移和刚体的转角若选简化中心为刚体的速度瞬心P,则有：A注意：由于速度瞬心不固定，除特殊情况 外上式一般不易积分得出有限功。 一般情况下，变力作功应注意 作积分的运
3、算P5xy例 题 8-58 动能定理 例题试求外力的 元功及 从0增加到45的过程中 ,外力对系统作的有限功(不计各 处摩擦)。均质杆OA长度为4l,重量为4P,与重量为 3P的均质杆BD在OA中点C铰接, DC=l, BC=2l, D点作用了大小不变,方向总是 垂直于杆BD的主动力 ,解： 总功包括主动力 的功和重力的功,建立图示坐标系，ODBAC E取 为广义坐标：()杆BD的转角为6例 题 8-58 动能定理 例题1.重力的功：2. 力的功：xyODBAC E试求外力的元功及 从0增加到45的 过程中,外力对系统作的有限功(不计各 处摩擦)。均质杆OA长度为4l,重量为4P,与重量 为3
4、P的均质杆BD在OA中点C铰接, DC=l, BC=2l, D点作用了大小不变， 方向总是垂直于杆BD的主动力 ,()杆BD的转角为 将将 力向力向B B点简化得点简化得()MB又7例 题 8-58 动能定理 例题xyO BAC E试求外力的元功及 从0增加到45的 过程中,外力对系统作的有限功(不计各 处摩擦)。均质杆OA长度为4l,重量为4P,与重量 为3P的均质杆BD在OA中点C铰接, DC=l, BC=2l, D点作用了大小不变， 方向总是垂直于杆BD的主动力 ,MB故外力元功和有限功为：思考：求 力的功为什么向B点进行简化？()杆BD的转角为81. 质点的动能定理由牛顿第二定律有(作
5、用于质点的合力 的元功)(8-29)质点动能定理的微分形式质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功两边点乘m动能定理质点或质点系的动能改变量与所受到 的作用力作的功之间的数量关系。8.38.3 动能定理及应用动能定理及应用(质点动能的改变)9(8-30)质点动能定理的微分形式mL若质点从 ，沿路径L从位 置1位置2，则积分(8.30)式有：(8-31)质点动能定理的 积分形式质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用于 质点上的合力在同一运动过程中所作的功。可写为两边同除以dt,也102. 质点系的动能定理对质点系中每个质点，都有:质点系动能定理的微分形式(8-32)质点系动能的微分等于作用于
6、质点系上的 全部力（外力和内力）的元功的代数和对质点系所有质点求和:质点系动能定理 的微分形式(8-33)外力的元功 内力的元功m11设在时间 的过程中，质点系发生了某一运动， 从位置1运动到位置2,为运动过程中质点系的所有外力所作的功；为运动过程中质点系的所有内力所作的功，对式(8-33)积分得到：质点系动能定理的积分形式:(8-34)质点系的动能在某一运动过程 中的改变量，等于作用于质点 系的所有外力和内力在同一运 动过程中所作的功的代数和。质点系动能定理 的微分形式(8-33)外力的元功 内力的元功mi位置1mi位置212注意以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功,一般，系统的内力总是
7、成对(大小相等，方向相反 )出现，当一对内力的作用点的位移是相同的(即 一对内力的作用点没有相对位移,如刚体的内力) 时,这一对内力作功之和为零内力作功之和为零；但也有成对的内力作功之和不为零的内力作功之和不为零的，如： 系统内的弹簧力弹簧力，动滑动摩擦力动滑动摩擦力等。质点系动能定理 的微分形式(8-33)外力的元功 内力的元功质点系动能定理的积分形式(8-34)外力功 内力功13动能动能 定理的定理的 应用应用系统动能的变化系统所受力系的功 （代数方程）系统只有有势力作功只有有势力作功时,有势系统的机械能守恒(8-35)质点系动能定理的积分形式(8-34)质点系动能定理的微分形式(8-33
8、)动能定理部分重点要求：动能定理的积分形式 机械能守恒定律动能定理14注意(1)分析系统受力时，重点分析系统中全部作作功的力功的力（不要忘记弹性力弹性力），略去不作功的力（如理想约束的约束力）。(2) 动能定理的积分形式 中，动能改变量 只与系统初终两个状态的速度、角速度有关，但力的功 常常是一个积分计算，与中间过程有关。(3)系统只有有势力作功只有有势力作功时,应用机械能守恒很方便有势系统的机械能守恒15（3）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加速 度，必须用动能定理的微分形式：注意 的求法： 应该采用最一般的动能表达式写出其动能最一般的动能表达式写出其动能T T 后，再对后，再对T T求导
9、求导，对特殊时刻写出的对特殊时刻写出的T T不能求不能求 导导。（4）系统的动能是系统相对于惯性系的动能， 动能定理式中各速度、角速度量均为绝对速度绝对速度、 绝对角速度绝对角速度。16解： 研究对象：杆 运动状态为定轴转动位置1：杆水平，位置2：杆铅垂图示均质细直杆质量M，长为L，绕其一端在铅垂平面内 转动，其中点由一刚性系数为k 的弹簧挂住，弹簧原长为 L。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动到铅垂位 置时其质心C的速度(不计各处的摩檫)。A1仅重力和弹性力作功理想约束， 机械能守恒例 题 8-68 8 动能定理动能定理L/2LL/2CMgOA17势能包括重力势能(取杆水平时为势能零点)
10、及弹性势能( 取弹簧原长时为势能零点)：代入机械能守恒式中得例 题 8-68 8 动能定理动能定理A1L/2LL/2CMgOAC118例 题 8-7解：研究对象为滑轮系统,所受的约束为理想约束。计算动能作功的力：轮I和重物的重力,弹簧弹性力8 8 动能定理动能定理状态1:初始静止时, 状态2:重物下落任意s 时法1:应用动能定理动滑轮:一般平面运动, 重物:平移, 定滑轮:定轴转动图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径R的均质圆盘，重为P。滑轮 上绕有质量忽略不计且不可伸长的细绳，其一端固定在A处，另 一端接在一刚性系数为k的弹簧上。设系统开始处于静止位置时 弹簧并未变形。系统由静止释放进入运动,
11、求：当重量为P的重物 下落距离 s 时，动滑轮轮心C的速度和加速度(各处摩擦不计)。ABCokIIIs P19例 题 8-78 8 动能定理动能定理B为轮I速度 瞬心 ABCokIIIs PPP重物下降s距离时刻的动能：20计算力的功：根据系统积分形式的动能定理：根据系统微分形式的动能定理：例 题 8-7ABCokIIIs P注意:系统任意时刻动能为：PP任意时刻外力功为8 8 动能定理动能定理21例 题 8-7由于作功的力仅有轮I、重物的重力,弹簧弹性力8 8 动能定理动能定理状态1:初始静止时,状态2:轮I下落任意s时计算动能和势能:重力势能的零点:初始时轮I的轮心C处 弹性势能的零点:弹
12、簧未变形状态法2:应用机械能守恒定理:ABcokIIIs PPP对 直接求导 即可得 22例 题 8-88 8 动能定理动能定理图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位 置开始沿与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚 子轴心O的重量为P2的光滑杆OA随之一起运动，试 求滚子轴心O加速度大小。AO解： 受力和运动分析： 圆轮：纯滚动（一般平面运动） 杆OA的运动：平移 系统受力：重力重力, 斜面支持力, 轮与斜面间静摩擦力作功的力：重力重力，不作功的力：斜面的支持力，纯滚时的静摩擦力23图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿 与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心
13、O的重量为 P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。AO写出任意时刻系统的动能：写出任意时刻系统的动能：对任意时刻的动能求微分：对任意时刻的动能求微分：例 题 8-88 8 动能定理动能定理24图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿 与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为 P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。对任意时刻的动能求微分：作功的力有作功的力有重力重力 , ,力的元功为力的元功为: :AOC且又有又有sy例 题 8-88 8 动能定理动能定理25图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿 与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为 P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。利用动能定理利用动能定理 的微分形式：的微分形式：( )又有(方向如图)AOCsy例 题 8-88 8 动能定理动能定理26
