《空间点、直线、平面之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间点、直线、平面之间的位置关系（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【考试要求】1. 理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.8.3 空间间点、直线线、平面之间间的位置关系1. 平面的基本性质名称图形 文字语言 符号语言公理1如果一条直线上有两个 点在一个平面内,那么这 条直线在这个平面内 公理2经过 不在同一条直线上的三个点确定一个平面 A、B、C不共线 A、 B、C平面且是唯 一的 公理3如果不重合的两个平面 有一个公共点,那么它们 有且只有一条过这 个点的公共直线 若P,P,则 =a,且Pa 公理4 平行于同一条直 线的两条直线互 相平行 若ab,bc, 则a
2、c 公 理 2 的 推 论论推 论 1 经过 一条直线和 直线外一点,有且 只有一个平面 若点A 直线 a,则A和a确定 一个平面 推 论 2两条相交直线确 定一个平面 ab=P 有且 只有一个平面 ,使a ,b 推 论 3两条平行直线确 定一个平面 ab 有且只 有一个平面, 使a ,b 【思考】 你能说出公理3的作用有哪些？答案：它的作用有五个：判定两个平面相交；证明点在直线上； 证明三点共线；证明三线共点；画两个相交平面的交线2. 空间直线与直线的位置关系 (1)位置关系相交共面共面与否 平行异面一个公共点:相交 公共点个数 平行无公共点异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条
3、直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 或互补.（4）异面直线的夹角 定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b 所成的角（或夹角）.范围：（0, .特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就 称这两条直线垂直，记作ab.3. 空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行无公共点4. 平面与平面的位置关系 平行无公共点 相交有且只有一条公共直线基础自测1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分
4、成（ ）A.5部分 B.6部分C.7部分 D.8部分解析 如图所示,三个平面、两两相交，交线分别是a、b、c且abc.则、把空间分成7部分.C2.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（ ）A.1 B.3 C.6 D.0解析 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.B3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ）A.异面 B.平行C.相交 D.以上都有可能解析 如图所示，ab,c与d相交,a与d异面.D4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ）A.12对 B.24对 C.36对 D.48对解析
5、如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线B5.下列命题中不正确的是 .没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.解析 没有公共点的两直线平行或异面,故错；命题错,此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca,则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb,又ca,则ab，这与a,b异面矛盾，故c b;命题也正确，若c与两异面直线a,b都
6、相交，由公理3可知，a,c可能确定一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确定两个平面.答案 题型一 平面的基本性质答案 AC题型二 三线共点问题探究提高 【例3】已知ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.题型三 三点共线问题分析 要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面 和平面的交线上即可. 证证明 由已知条件易知,平面与平面ABC相交.设交线为 ,即 =面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P为平面与面ABC的公共点,P .同理可证,点R和Q也在交线 上.故P、Q、R
7、三点共线于 .如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线证明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD. EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD. 同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，所以B、D、O三点共线.练习：题型四 证明点线共面题型五 异面直线的判定【例3】 (12分)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.（1）易证MNAC，AM与CN不异面.（2）由图易
8、判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法.解 （1）不是异面直线.理由：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A C1C，A1ACC1为平行四边形.A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线.证明如下： ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面.3分6分解题示范 假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾.假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条
9、件入手，经过推理、演算、变形等),如第（1）问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的.10分12分知能迁移3 (1)如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线；直线BE与直线AF是异面直线；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D.解析 由EFADBC，知BE、CF共面，错；正确；正确；错.故选B.B（2）如图，正方体ABCDA
10、1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）.解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误.方法与技巧1.主要题型的解题方法（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）.（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连 线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.思想方法 感悟提高（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.失误与防范1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.而不是分别在两个平面内.一定要理解定义.2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是（0，90.
