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1、变化率与导数、导数的计算导数及其应用要点梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .基础知识 自主学习2.函数y=f（x）在x=x0处的导数（1）定义称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率= 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0，即f(x0)= = . （2）几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .(x0,f(x0)切线的斜率y-y0=f(x0)(x-x0)3.函数f(x
2、)的导函数称函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y.4.基本初等函数的导数公式 原函数 导导函数 f（x）=c f(x)=f(x)=xn (nQ*) f(x)=f(x)=sin x f(x)= f(x)=cos x f(x)= f(x)=ax f(x)=cos x0-sin xaxln a(a0)nxn-1ex5.导数运算法则（1）f（x）g(x)= ;(2)f(x)g(x)= ;(3) = (g(x)0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y = ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积. f(x)=ex
3、f(x)=f(x)=logax f(x)=f(x)=ln x f(x)=(a0,且a1)f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)yuy对uu对xxux基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+x，2+y），则 为（）A.x+ +2B.x- -2C.x+2D.2+x-解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2.C2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（）A.k1k2B.k1k2C.k1=k2D.不确定解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x,k1=cos 0=1，
4、k2=cos =0，k1k2.A3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)-f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是（）A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a)解析 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0.g(x)在R上为增函数，ab,g（a)g(b),
5、即af(a)bf(b).B5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0， ，则点P横坐标的取值范围为（）A. B.-1，0C.0，1D.解析 y=x2+2x+3，y=2x+2.曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是0, ,曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .A【例1】利用导数定义，求函数 在x=1处的导数.解 方法一 （导数定义法）题型分类 深度剖析题型一 利用导数的定义求函数的导数方法二 （导函数的函数值法）知能迁移1求函数y= 在x0到x0+x之间的平均变化 率.紧扣定义 进行计算.解思维启迪探究提高 求函数 f（x
6、）平均变化率的步骤：求函数值的增量f = f（x2）- f（x1）；计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.解析知能迁移2点评 要准确理解导数定义, 本质上讲,题型二 导数的运算【例1】求下列函数的导数.（1）y=2x3+x-6；（2）y= ；（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；（4）y=-sin (1-2cos2 ）；（5） .如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.思维启迪解 （1）y=6x2+1.(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二y=(x+1)(x
7、+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如（3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结
8、构形式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.探究提高知能迁移1 求下列函数的导数.（1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)；（3）y= .解 (1)y=(5x2-4x+1)=(5x2)-(4x)+(1)=10x-4.(2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+2(x2)-(3x)-(1)=18x2+4x-3.【例2】求下列复合函数的导数.(1)y=(2x-3)5;(2)y= ;(3)y=sin2（2x+ ）;(4)y=ln(2x+5).思维启迪 先正确
9、地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆.解 (1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3复合而成,y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u4=10(2x-3)4.（2）设u=3-x,则y= 由y=u 与u=3-x复合而成.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.探究提高(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+
10、 ,（4）设y=ln u,u=2x+5,则知能迁移3 求下列复合函数的导数.(1)y= ;(2)y=x ;(3)解 (1)y=-3(1-3x)-4(1-3x)= .3.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决.（1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；（4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程
11、.题型四 导数的几何意义【例4】 （12分）已知曲线方程为y=x2,（1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；（2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程.（1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.（2）B不在曲线上，设出切点求切线方程.解 （1）A在曲线y=x2上,过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 2分由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4分因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 6分 思维启迪（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分y=kx+5-3k,y=x2得x2-
12、kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.10分所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分方法二 设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,8分由已知kPA=2x0,即 =2x0.又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分切点坐标为(1,1),(5,25),所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分由探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然
13、后求其切线斜率k=f(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数yf(x)在点xx0的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0)和切线斜率的条件下，求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)注意：(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道
14、时，应首先设出切点坐标，再求解知能迁移4 已知曲线 .(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）y=x2,在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ，则切线的斜率k=y|x=x = .切线方程为y-即0点P（2，4）在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.知能迁移5方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.思想方法 感悟提高一、选择题1.一质点沿直线运动，如果由始
