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1、第四章 随机变量的数字特征分布函数能完整地描述 随机变量的统计特 性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数而 只需知道 随机变量的某些特征.判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度例如 ：考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否 高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动 是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数 值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描 述随机变量在某些方面的重要特征 ,这些数字特 征在理论和实践上都具有重要意义.本章主要内容数学期望、方差、协方差、相关系数、矩一、数学期望的概念三、
2、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望第一节 数学期望设某射击手在同样的条件下,瞄 准靶子相继射击90次,(命中的环数是 一个随机变量).射中次数记录如下引例 射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数 k命中次数频率一、数学期望的概念 解 平均射中环数1. 离散型随机变量的数学期望射击问题“平均射中环数”即为随机变量 X 的数学期望设射手命中的环数为随机变量 X ，关于定义的几点说明(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种 加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上 体现了随机变量 X 取值的真正的平均值, 也 称均值.(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项
3、次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量 X 的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X 取值的平均程度.随机变量 X 的期望为试问哪个射手技术较好?实例1 谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.实例2 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单
4、位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为实例3 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资?解 设 X 为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.实例4 商店的销售策略解X 的分布函数为2.连续型随机变量数学期望的定义解因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例5 顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从
5、指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?1. 离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望例6 设随机变量 X 的分布律为离散型随机变量函数的数学期望为若 Y=g(X), 且则有2. 连续型随机变量函数的数学期望若 X 是连续型的,它的概率密度为 f (x) , 则例7 设设随机变变 量求3. 二维随机变量函数的数学期望设设随机变变量 (X,Y) 的联联合分布律为为例8求1. 设 C 是常数, 则有2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有三、数学期望的性质3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有解实例9实例10 分组验血解
