张璞扬力学ppt-9-中国科学技术大学

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1、1. 机械波的形成和传播 2. 平面简谐波 3. 波的能量 能流密度 4. 惠更斯原理 5. 波的干涉 6. 驻波 7. 多普勒效应第八章 机械波目 录1 机械波的形成和传播如果在空间某处发生的扰动以一定的速度由近及远向四 处传播，则称这种传播的扰动为波. 机械扰动在弹性介质中 的传播形成机械波.一、机械波产生条件 v 产生机械振动的振源(波源); v 传播机械振动的弹性介质.介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质 量，各质元间存在着相互作用。质元间的相互作用使波得以 传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。二、横波和纵波1. 横波: 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直. 2xxx

2、xxx t = T/4 t = 3T/4 t = 0048162012 t = T/2 t = T y31) 波的传播不是媒质质元的传播, 而是振动状态的传播, 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现；2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；3) 沿波的传播方向, 各质元的相位依次落后；4) 同相位点质元的振动状态相同, 相邻同相位点, 相位差2；5) 波是指媒质整体所表现的运动状态。波的传播特征可归纳为：2. 纵波: 介质中质点振动方向与波的传播方向平行.v 固体中的振源可以产生横波和纵波. v 水面波既不是纵波, 又不是横波.横波传播的条件为媒质具有切变弹性。在气体和

3、液体内 不产生切向弹性力, 故气、液体中不能传播横波.41. 波面: 振动相位相同的各点连成的面. 2. 波前: 波源最初振动状态传播到各点所连成的面.根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱 面波 等。3. 波线: 沿波的传播方向画一些带箭头的线; 各向同性介质中波线与波面垂直。三、波面与波线 球面波平面波波 线 波面5v 横波: 相邻的波峰或波谷间距离; v 纵波: 相邻的密集或稀疏部分中心间距离.3. 波速（u）:单位时间内, 波动所传播的距离称为波速（相速）. 波速决定于介质的特性. 2. 周期（T）: 波前进一个波长的距离所需的时间叫周期频率（ ）: 周期的倒数称为频率v波长反映

4、波的空间周期性； v周期反映波的时间周期性；四、描述波的几个物理量1. 波长: 波传播时, 在同一波线上两个相邻的相位差为2 的 质点之间的距离.61) 弹性绳上的横波T绳中的张力, 绳的线密度讨论几种介质中的波速：2) 固体棒中的纵波Y杨氏弹性模量 体密度l0 l0 + l FF拉伸其中：73) 固体中的横波4) 流体中的纵波 = Cp/Cv , 摩尔质量pV0+ V容变ppp理想气体:B容变模量, 流体密度G 切变模量F切切变8若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简 谐振动, 这种波称之为简谐波.如果波面为平面，则这样的波 称为平面简谐波。一、平面简谐波的波函数设有一平面简谐波

5、, 在无吸收、均匀、无限大的介质中传播.设波的位相速度，即波速为u,则对P 点： 平面简谐波设原点0处振动位移的表达式为： ox xuyP1. 沿x 轴正方向传播(右行波)9定义角波数 得：2. 沿x 轴负向传播(左行波)xPxuyo对P 点：简谐波运 动学方程10二、波动方程的物理意义1. x 确定时，为该处质点的 振动方程, 对应曲线为该 处质点振动曲线x 确定时tyo tpxxuyopt 确定时2. t 确定时，为该时刻各质 点位移分布, 对应曲线为 该时刻波形图不同时刻对应有不同的波形曲线简谐波运动学方程是一个二元函数。位移y是时间t和 位置x的函数。113. t, x 都变化时, 表

6、示波线上所有质点在各个时刻的位移情况 行波。t + tx=u txuyot波函数的物理意义描述了波形的传播.12三、波动中质点振动的速度和加速度四、平面波的波动方程v u: 波形传播速度, 对确定的介质是常数 v v: 质点振动速度, 是时间的函数注意：把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶偏导数，得13比较上列两式，即得普遍意义：在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质 是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它 是以u为传播速度的波动过程. 14例题8.1 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,已知振 幅A=1.0m, 周期T=2.0s, 波长

7、=2.0m. 在t=0时, 坐标原 点处质点位于平衡位置，且沿oy 轴的正方向运动.求： 1) 波函数; 2) t=1.0s时各质点的位移分布, 并画 出该时刻的波形图; 3) x=0.5m处质点的振动规律, 并 画出该质点位移与时间的关系曲线.解: 1) 按所给条件, 取波函数为式中为坐标原点振动的初相15代入所给数据, 得波动方程2) 将t=1.0s代入式(1), 得此时刻各质点的位移分别为(2)(1)16按照式(2)可画出t=1.0s时 的波形图(3) 将x=0.5m代入式(1), 得该处 质点的振动规律为由上式可知该质点振动 的初相为-. 由此作出其y-t 曲线y/mx/m1.02.0

8、0x/my/m1.02.00-1.017例题8.2 一平面简谐波以速度u=20m.s-1沿直线传播, 已知在传播路径上某点A的简谐运动方程为 y=(310-2m)cos(4s-1)t. 求: 1) 以点A为坐标原点, 写出 波动方程; 2) 以距点A为5m处的点B为坐标原点, 写出 波动方程; 3) 写出传播方向上点C, 点D的简谐运动方 程; 4) 分别求出BC和CD两点间的相位差.9m5m8muxDABC解: 由点A的简谐运动方程可知频率波长 182) 由于波由左向右行进, 故点B的相位比A点超前, 其简谐运 动方程为1) 以A为原点的波动方程为故以点B为原点的波动运动方程为193) 由于

9、点C的相位比A点超前，故而点D的相位落后于A点, 故4) BC和CD间的距离分别为xBC=8m, xCD=22m. 20例题为8.3 一横波沿一弦线传播, 设已知t=0时的波形曲 线如图所示, 弦上张力为3.6N , 线密度为25gm-1. 求: 1) 振幅; 2) 波长; 3) 波速; 4) 波的周期; 5) 弦上任一 质点的最大速率; 6) 图中a , b两点的相位差; 7) 3T/4 时 的波形曲线。 x/cmy/cm1020304050607080ab 0 -0.2 -0.4 -0.50.20.40.5M1M2213) 由波速公式可得4) 波的周期为2) =40cm解: 由波形曲线可看

10、出 1) A=0.5cm;5) 质点的最大速率为226) a, b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落 后7) 3T/4时的波形如图中实线所示, 波峰M1和M2已分别右移3/4 而到达M1和M2处。t=0 时的波形x/cmy/cm1020304050607080abt=3T/4 时的波形0 -0.2 -0.4 -0.50.20.40.5M1M1M2M223设波在体密度为 的弹性介质中传播, 在波线上坐标x 处取 一个体积元dV, 在时刻t 该体积元各量如下:一、波的能量振动速度:振动动能: 波的能量 能流密度振动位移:在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能， 而且因发生形

11、变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随 能量的传递。24以金属棒中传播纵波为例.在波线上任取一体积为 ，质量为 的体积元.利用金属棒的杨氏弹性模量的定义和虎克定律因关于体积元的弹性势能：25故总能量:表 明： v 总能量随时间作周期性变化; v 振动中动能与势能相位差为/2, 波动中动能和势能同相; v 波动是能量传播的一种形式.26二、能量密度2. 平均能量密度表明: 波的平均能量密度与振幅的平方成正比, 与频率的平 方成正比。 1. 能量密度: 单位体积介质中的波动能量.表明: 波的能量密度与总能量dE均随时间作周期性变化, 且 同相.272. 平均能流1. 能流: 单位时间内通过介质某

12、一截面的能量.uSux三、能流密度（波的强度）通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流3. 平均能流密度-玻印廷矢量矢量形式: 单位: W.m-2 28四、波的吸收若波的吸收系数为常数时强度比振幅衰减快v 对于球面波在均匀介质中传播的情况.通过两个球面的总的能流应相等，即由此得相应的球面简谐波表式为29一、惠更斯原理 介质中波动传播到的各点, 都可以视为发射子波的波源, 在其后任一时刻, 这些子波的包络就是新的波前. 惠更斯原理意义： 只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻 的波面和波的传播速度。v 适用于各种波, 机械波、电磁波等 v 适用于非均匀的、各向异性的介质30应用：解释波的衍

13、射(绕射), 波的散射, 波的反射, 波的折射等现象.局限性：v 没有说明子波的强度分布 v 没有说明子波只向前传播, 而不向后传播的问题二、波的衍射波在传播过程中遇到障碍时, 能够绕过障碍物的边缘继续向 前传播 波动的特征之一。衍射现象显著与否, 与障碍物的大小与波长之比有关。a31三、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律波的折射和折射定律用作图法求出折射波的传播方向i1-入射角, i2-折射角C Ai1i2n1t1t2BEn2需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向 发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于 是纵波可能变成横波或部分纵波,部分横波。反之亦然。练习：应用

14、惠更斯原理，用作图法证明波的反射定律。32v 无论是否相遇, 各列波仍保持原有的特性(频率, 波长和振 动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有遇到 其他的波一样（波传播的独立性）。 v 在其相遇区域内, 任一点的振动为各个波单独存在时在该 点引起的振动的矢量和.一、波的叠加原理 波的干涉几列波在同一介质中传播:波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程.若 分别满足波动方程3334二、波的干涉相干波: 两个频率相同, 振动方向相同, 相位差恒定的波源发出的波。s2s1Pr1r2波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。则 显然也满足波动方程两个相干波源发出的波的叠加。两束

15、相干波在空间形成稳定的强度分布, 合振幅或强度取 决于两束相干波的相位差.相干叠加：35波源的振动：由叠加原理P点合振动：P点的振动：s2s1Pr1r236c) 其他情况合振幅在最大值与最小值之间。3. 非相干叠加振幅叠加情况复杂，但强度分布简单a) 干涉加强b) 干涉减弱37例题8.4 A, B两点为同一介质两相干波源, 其频率皆 为100Hz, 当点A为波峰时点B为波谷. 设波速为10m.s- 1, 试写出A, B发出的两列波传到点P时干涉的结果. 15m20mPAB解: 由图可知, AP=15m, AB=20m, 故又已知v=100Hz, u=10m.s-1 得38设A的相位较B超前, 则A-B=. 根据相位差和波程差的关系 有这样的值符合合振幅的最小的条件, 如若介质不吸收波 的能量, 则两波振幅相同, 因而合振幅故在点P处, 因两波干涉减弱而不发生振动. 39一、驻波的形成实验弦线上的驻波 驻 波弦线长度等于半波长的整数 倍