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1、 应用MATLAB建模实例 数学也是一门技术 数学是一门技术一个例子足球比赛中的吊门问题谈谈数学建模竞赛及培训数学是一门技术技术的定义 辞海：泛指根据生产实践经验和自然 科学原理而发展成的各种工艺操作方法与 技能；除操作技能外， 广义的还包括相应 的生产工具和其他物质设备，以及生产的 工艺过程或作业程序、方法。 科学学辞典和科技辞典：是为社 会生产和人类物质文化生活需要服务的， 供人类利用和改造自然的物质手段、智能 手段和信息手段的总和。 数学及其应用的特征 是一种智能形态的技术 在数学软件的平台上，又表现为 一般的物化形态数学建模技术 指数学及其应用于解决实际问题的整 个过程 多样性、合理性
2、、具体问题具体分析 艺术性足球比赛中的吊门问题考虑如下的因素：球与球门的距离为a， 守门员与球门的距离为b，球门高h，守门员 最大摸高H，球出脚的初速度为v，与水平方 向的夹角为alpha（称为初射角）给定， h=2.44m，H=3.20m，v=30m/s，重力加速度 g=10m/s2，针对下列几组数据分别给出能吊 门成功的相应初射角范围，要求精度在小数 点后第3位。 a=6m，b=1m； a=10m，b=3m； a=20m，b=5m。 问题分析先考虑最简单情形，即不考虑空气阻力 等，此时，球的运动轨迹是抛物线， 如果守门员不动，总有合适的角度使吊 门成功。 这不是求一个角度值，而是求一个范围
3、 ！通常的思路是把问题整理成两个方程 求根问题：一个方程是求吊门成功的最 小角度，一个方程是求吊门成功的最大 角度。 有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门 的情况。直观分析最简单情形，抛射体的运动轨迹为抛物线方 程如下 借助于使用方便的数学软件，可直观地看到 各种初射角对应的抛射体运动的轨迹图形。最简情形程序1-1v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=6;b=1; l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L; for alpha=1.5368:0.00001:1.538 y,tfinal=paosheti1(x,alpha,v,g);tH=l/(v*cos(alpha);
4、plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on,plot(x,y),grid,hold offtitle(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 守门员的移动时间=,num2str(tH),pause endC:WINDOWSDesktop程序MATLAB 7.0.lnk程序1-1之抛射体轨迹函数function y,t=paosheti1(x,alpha,v,g) y=x*tan(alpha)-x.2*g/(2*v2*(cos(alpha)2); t=2*v*sin(alpha)/g; xmax=v*cos(alpha)*t; n=length(x);
5、for i=1:nif y(i)t0tt=t(i)-t0;x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt)/k;y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt2/2;end end 空气阻力的情形之一的结果及分 析改进（一）前面结果有问题，反弹后的角度不应该 是alpha了，应该以落地时的情况计算出 新反射角。 修改抛射体函数：将 paosheti2(t,alpha,v,k,g)，换成 paosheti22(t,alpha,v,k,g)。 程序2-1-2修改如下function x,y=paosheti22(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alp
6、ha)*(1-exp(-k*t)/k; y=v*sin(alpha)*t-g*t.2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to the ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=v*sin(alpha); vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(vyt0/vxt0); for i=1:nif t(i)t0tt=t(i)-t0;x(i)=xt0+vt0*cos(al
7、pha1)*(1-exp(-k*tt)/k;y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt2/2;end end 空气阻力的情形之一的结果及分 析改进（二）针对第三组数据，计算的最小角度为 1.268，守门员移动时间为2.7771秒，最 大角度是1.27，时间是2.8101秒；结果仍有问题：反弹前后的两波高度一 样； 解决的办法是再考虑y方向也有空气阻 力。有空气阻力的情形之二 x、y方向均考虑空气阻力假设x，y两个方向均受空气阻力的影响 ；假设空气阻力与速度成正比，比例系数为 k=0.4。 此时，x(t)仍满足同上的常微分方程初值问 题y(t)满足如下的常微分方程初值问题问题的解有
8、空气阻力的情形之二程序2-2 -1v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b=5; l=a-b;L=a*1.1; for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-epsTh=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k;T=Th*1.2;t=0:0.01:T;x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g);TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)/k;plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on,plot(x,y),grid,hold offtitle(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2st
9、r(alpha,6) ,. 守门员的移动时间=,num2str(TH),pause end 有空气阻力的情形之二程序2-2 -2function x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5)tt0(ii+1)=tt0(ii)- paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(
10、tt0(ii),alpha,v,k,g);tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);ii=ii+1;if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times);end endt0=tt0(ii); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(abs(
11、vyt0/vxt0); for i=1:nif t(i)t0%tt=t(i)-t0;x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k;y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt)/k-g*tt/k;end end 空气阻力情形之二的结果分析及 改进针对第三组数据，计算的最小角度为 1.239，守门员移动时间为2.3797秒，最 大角度是1.248，时间是2.4889秒；有必要考虑守门员可以移动的情形。 守门员可以移动的情形假设守门员只沿球运行的方向移动； 球一出脚守门员即判断好并移动； 守门员的移动速度记为u，其大小是吊 门能
12、否成功的另一关键因素。问题分析球的运动轨迹与上一种情况完全一致， 程序2-2-2不必改。单独加上守门员的移动显示，二者叠加 ，可得守门员可移动情形下吊门成功与 否的直观显示。守门员可以移动的情形之程序3-1- 1 v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b0=5;u0=2; l0=a-b0;L=a*1.1; for alpha=1.25:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-epsTh=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k;T=Th*1.2;t=0:0.1:T;x,y=paosheti4(t,alpha,v,k,g);nn=length(
13、t);for j=1:nnxx=x(1:j);yy=y(1:j);ll0=l0+u0*t(j);if ll0al(j)=a;elsel(j)=ll0;endTH=-log(1-l(j)*k/(v*cos(alpha)/k;plot(xx,yy,bo,l(j),H,r+,a,h,ro),grid,pauseend%hold offtitle(足球比赛中的吊门 ,初射角=,num2str(alpha,6) ,.球运行的时间=,num2str(TH),pause end 守门员可以移动的情形之程序3-1- 2 function x,y=paosheti4(t,alpha,v,k,g) x=v*cos
14、(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5)tt0(ii+1)=tt0(ii)- paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k, g);tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);ii=ii+1;if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times);end end t0=tt0(i
15、i); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0); for i=1:nif t(i)t0tt=t(i)-t0;x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k;y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt)/k- g*tt/k;end end 守门员可以移动的情形之结果针对第三组数据，且守门员移动速度为，计 算的能使球进入球门的最小角度为1.239，球 运行的时间为4.2682秒，能使球进入球门的 最大角度是1.248，球运行时间是4.5914秒 ； 不难看出，如果攻门一方球一出脚，守门员 就向球门方向移动的话，吊门是不可能成功 的，除非守门员移动的速度很慢 ，如， u1.1m/s； 当然，实际比赛中，守门员的移动并不是对 方球一出脚就开始的，而是有一个判断、反 应的滞后时间！也就是说，即使守门员移动 的快一些，还是有可能吊门成功的！ 谈谈数学建模竞赛及培训值
