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1、从平行公理说起微分几何的历史和现状简介平行公理欧几里德在他的名著几何原本中，以5 个基本假设为基础，把当时人类已经掌握的纷杂 的几何知识变成一个演绎系统，使用逻辑推理方 法，一共推出了465个定埋。 这个系统所依据的只是几个虽然没有加以证 明，但是看起来相当明显，并且合乎人类经验的 假设。这几个“不证自明”的事实叫做公理(axioms) 。平行公理这五个公理是 1. 两点间必可连一条直线； 2. 直线可以任意延长； 3. 已知圆心及半径可作一圆； 4. 凡直角皆相等； 5. 两直线 AB，CD 与另一直线交于 E，F，若 ，则两直线在 BD 侧相交。平行公理第五个公理就是有名的平行公理。 它不
2、像前面 的四个公理那么自明，亦即那么简单明了，那么众 所公认。 虽然前人并不怀疑欧氏几何描述物理空间 的真实性，但从有原本开始，大家就怀疑平行 公理是否可以由其他的四个公理推出，或者可以用 另一个更自明的公理来代替。平行公理通常以如下的等价形式出现：过直线 外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是 永不相交的意思，这就牵涉到“无穷”一个不很自 明、无法亲身经验到的观念。 欧几里得不采取后一 种形式的平行公理，也许也是要使平行公理显得更 自明的缘故。 平行公理这个平行公理在所有公理之中是最不明显的 ，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其他 的公理去推得平行公理。 而这努力延持了两千年 ，后
3、来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学 的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思 的事实，是西方数学和中国数学不同的地方。 平行公理下文引自国际微分几何学大师陈省身先生的一篇文章， 原载于科学月刊第十八卷第六期。九章算经是中国古代最有名的数学书，一共九章，第 九章谈的是所谓勾股，勾、股就是直角三角形中较短的两个 边，一个叫做勾，另一个就叫做股，而最长的那个边便称为 弦。 勾股定理也就是毕氏定理，所以它的发现，中国人也应 该有份。 但是在中国的几何中，我无法找到类似三角形三内 角和等于180推论，这是中国数学中没有的结果。 因此，得之于国外数学的经验和有机会看中国数学的书 ，我觉得中国数学都偏
4、应用；讲得过分一点，甚至可以说中 国数学没有纯粹数学，都是应用数学。这是中国科学的一个 缺点，这个缺点到现在还存在，大家都讲应用，不注意基础 科学。当然应用很要紧，但是许多科学领域基本的发现都是 在基础科学。 球面几何突破欧几里德平行公理的束缚，如果我们将平行公理换成 ：5. 过直线外一点没有直线与已给直线平行我们就得到球面几何。在这种几何体系中，也满足欧氏几何的 前四条公理。生活在地球上的人们，将大地看作平面。大地上的直线， 如果从月球上看，其实是地球表面的大圆，即过球心的平面与 球面的交线。球面几何在球面几何中，三角形 的内角和大于 。事实上， 有下面的公式：式中 为球面半径， 表示三角形
5、 的面积。非欧几何如果我们将平行公理换成：5. 过直线外一点有不止一条直线与已给直线平行我们就得到非欧几何，也叫双曲几何。在这种几何体系中，也 满足欧氏几何的前四条公理。双曲几何的基本模型是 Poincare 双曲平面。考虑右手直角 坐标平面的上半平面 。该平面上的“直线”是圆 心在 x 轴上的半圆 和垂直于 x 轴的直线非欧几何在非欧几何中，三角形 的内角和小于 。这时 ，有下面的公式：式中 为双曲平面 的曲率， 表示三角形 的面积。解析几何欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。 法国 哲学家、数学家笛卡儿 (15961650) 为了研究几何，引进了坐 标的概念，因此可用解析的方法来
6、处理几何的问题。通过建立坐标系，将平面上或空间中的点与有序数组 或 建立起一一对应，某些图形作为点集其坐标满足某个 方程，从而可以使用代数的工具作为研究几何的有力工具。解析几何有了坐标系之后，使可研究的图形的范围扩大，除了直线 的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们还可以取任意的 方程 f ( x, y ) = 0，讨论所有其坐标 ( x, y )适合该方程的点的轨 迹。 因此许多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后， 都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。同时，研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至高 维的空间。解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科学 发展的基本要求，就是
7、要扩大研究的范围，了解更多的情形。 笛卡儿的解析几何，便达到了这个目的，使几何学迈入一个新 的阶段。 群的观念第三个发展是群( Group )的观念在几何中的应用。群是数学中一个基本的概念。在一个集合 中如果定义了 一个运算 称为乘法，满足下列条件 ：1. 结合律：2. 有单位元： 使得3. 有逆元： 使得则称 是一个群。欧氏几何研究的是几何对象经运动群后不变的几何的性质 。这个观念立刻便有了重要的发展。既然讨论运动群，有时我 们还想讨论更大的群，看是不是有些性质不但在运动群下不变 ，在更大的群之下也是不变。历史上最主要的例子是射影几何 。群的观念研究几何对象在射影群之下不变的性质是所谓射影几
8、何。 射影几何的发展，把几何的观念推广了，不只是有普通的欧氏 几何，也可以讨论射影群后仍是不变的性质。 有许多经运动群 后不变的性质，在射影变换后是变了的，像距离、角度，但是 还有些更重要的性质在射影下是不变的，像平行、相交，而且 这些性质能经过(大一点的)射影群不变，在几何上自有其重要的 意义。在几何学的发展之中，有许许多多几何学，像欧氏几何学 、射影几何学，及其他种种几何学，自然就要有一个人把它综 合起来，那就是德国的数学家克莱恩(F. Klein, 18491925)。群的观念他在二十二岁的时候，前往德国小城Erlangen的一所大学 任教。新教授上任必须做一次公开演讲，而他讲演的结果
9、Erlangen program，就是这个新几何学，他把几何学建立在群的 观念上：一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位 置移到另一个位置。因此有了一个群之后，便有一种几何，它 研究所有经过这个变换群不变的几何性质。这个群可以是欧几 里得运动群，也可以是投影变换群，或者其他种种的群。因为 群的选择不同，也就得到许多不同的几何学；其中包括非欧几 何学。微分几何与黎曼几何在这阶段前，还有黎曼(Riemann)几何的发展，这是笛卡儿 坐标几何的自然推广。在 m 维空间 中，一个点 到原点的距离为 d , 则 即这个点到原点距离的平方是坐标的一个二次型。 而黎曼不但用坐标，他还用坐标的微分，于
10、是硬把笛卡儿几何 局部化。因此黎曼几何可说是一个局部化的几何。黎曼几何主 要建构在弧长 s 上，弧长微分的平方等于坐标的一个二次微分 式，即 。用弧长即可建立一个几何，因为既然有了 ds，便可计算两点所连接的曲线的长度，也就是弧长。“测地线 ” (geodesic)是指在两点间使弧长最短的那条曲线，它是平面上直线的推广。有了测地线，便可以有面积及其他种种概念。 微分几何与黎曼几何黎曼几何最初在二维的情形是高斯 (Gauss, 17771854) 发 展的，他在1827年写了一本差不多五十页的小册子，研究在二 维(即曲面)的情形及这样的 之下，所能够发展的几何性质。 他的目的是为了应用，因为当时
11、的德国政府要他主持一个测量 工作，为了给这个测量工作一个理论甚础，于是高斯写下了这 篇在微分几何上最重要的论文，微分几何自此诞生。以前关于 把微积分用在几何上的问题，只能说是微积分在几何学上的应 用，在高斯这篇文章之后，微分几何便成了一门独立的学问， 就是从 得到一切的几何性质。微分几何与黎曼几何1854年，黎曼(18261866)在为取得大学教书资格的公开演 讲上，发表了黎曼几何的第一篇论文。黎曼几何并不像其他我 们所谈的欧几里得几何，或者克莱恩的Erlangen program几何， 或者是投影几何，需要整个的空间。在黎曼几何的情形之下， 我们只需要空间的一部分，因为 有意义，我们便可量弧
12、长、 面积、角度等几何性质，不需要知道全部的空间。也就是说， 在这样的一个小块里，便可发展全部的几何性质，这是黎曼几 何革命性的观念，使几何局部化，这个和物理上的场论是完全 符合的。微分几何与黎曼几何真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。大 致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要把物理几何化，也就是 说把物理的性质变为几何的性质，因此黎曼几何就成为物理学 家一定要念的一门数学。到了黎曼空间一样有曲率的概念，只 是因为黎曼空间是高维的，所以它的曲率概念就变得相当复杂 。在爱因斯坦的广义相对论中的基本公式里，大致说起来，物 理的力是一个曲率；数学家讲曲率和物理学家讲力、位势 (potenti
13、al)、速度，是完全可以把它们连在一起的。联络、向量丛、规范场论在黎曼几何中，Levi-Civita平行性是一个重要的观念。Levi- Civita 认为在黎曼几何(包括广义相对论里的其中一种，称为劳 伦兹几何)都有一个很基本的性质，那就是平行性；在这个时候 ，空间不再是只用一个坐标系就能表示的空间，而是需要很多 不同的坐标系才能表现的”流形” (manifold)，这样又把几何研究 的空间推广了。在流形上，经常要作坐标变换，就好比现代人，不只穿 一件衣服，要常常换。也许有些人不太能接受这样“奇装异服”式 的换坐标，但是没有关系，爱因斯坦花了七年的时间，才终于 接受坐标可以转换的概念，而能从狭
14、义相对论进展到广义相对 论。空间中有不同的坐标系，那么麻烦就来了，因为几何的性 质是和坐标系的选取有关，不过不要紧，只要我们能控制坐标 变换的性质，使在变换前即有的性质，经过变换之后仍为我们 所控制，那么换坐标就没关系了，这是近代几何学比较困难的 地方。联络、向量丛、规范场论用以表示流形的坐标系是任意的，因此可能是非线性的坐 标，这在处理上就变得比较困难;但是我们可以取线性的空间去 逼近流形。换句话说，虽然流形本身是非线性的，但在流形上 的一点，都有一个和普通空间一样的线性空间，即切空间。这 些切空间之间原本是没有关系的，而Levi-Civita平行性就是要建 立二点之间的切空间的关系；之后，微分几何学家发现，这个 平行性是非常基本的性质。又因为拓扑学 (topology) 的发展， 我们把这个观念推广了，不一定要谈切空间，任意一个空间都 可以，于是就有向量丛 (vector bundle) 和联络 (connection) 的观 念。也就是说流形的切空间差不多是平的，但是向量丛却可以 是一个竖起来的空间，任何的向量空间都可以，这是今天在几 何上大家所公认的一个基本结构。 从黎曼几何推广到有联络的 向量丛，这也就是物理上规范场论(gauge field)的数学基础。
