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1、第五章 扩展的单方程模型第一节节 变变参数单单方程模型 第二节节 非线线性单单方程模型 第三节节 非因果关系的单单方程模型1 1第一节 变参数单方程模型n确定性变变参数模型n随机变变参数模型2 2基本概念n l常参数模型n认为参数，在样本期内是常数n即认为产 生样本观测值 的经济结 构保持不变 ，解释变量对被解释变量的影响保持不变l变参数模型n将参数，作为变量n 3 3确定性变参数模型n确定性变参数模型l l参数i，i是确定性变量，而不是随机变量n类型l参数随某一变量呈规律性变化l参数作间断性变化4 4确定性变参数模型（续1）n参数随某一变量呈规律性变化l n参数 是常数np 往往是一个政策变
2、量，表示由于政策的变化改 变了解释变量对被解释变量的影响程度l代入原模型得n l采用OLS估计，得到参数估计值n因为p为确定性变量，与随机误差项不相关l通过检验 是否显著为0来检验变 量p 是否对 有影响5 5确定性变参数模型（续2）n参数作间断变化l n参数在 n0 处发生了突发性变化n实际中往往表示某项政策的实施所产生的影 响l模型的估计6 6随机变参数模型n随机变参数模型l l参数i，i不仅是变量，而且是随机变量n类型l参数在一常数附近随机变化（类型一）l参数随某一变量作规律性变化，同时受随 机因素影响（类型二）l自适应回归模型（类型三）7 7随机变参数模型（续1）n类型一l n其中，
3、为具有0均值的随机项l则：n其中：n显然模型具有异方差性，则可采用第四章中介绍 的相关方法很方便的对参数进行估计8 8随机变参数模型（续2）n类型二l n其中， 为具有0均值的随机项l则：n容易导出，上式是具有异方差性的多元线性模型 ，同样可采用第四章中介绍的估计方法方便的对 参数进行估计9 9随机变参数模型（续3）n类型三l形式一n模型 中的参数 可 以表示为l l则称该模型为自适应回归模型l它是由影响 的变量具有一阶自相关所引起的n例如：模型是一个消费方程， 表示自发性消费 （即收入等于0时的消费水平），国家的消费政策 （刺激、鼓励、一般或抑制的政策）使得自发性 消费是一个随机变量，而国家
4、的消费政策往往具 有一阶自相关性，引起自发性消费也具有一阶自 相关性1010随机变参数模型（续4）n类型三l形式二n模型中的参数可表示为l n例如，在消费方程中 表示边际消费倾向，在 生产方程中 表示某种投入要素的产出弹性， 而影响边际消费倾向的利率、影响投入要素产 出弹性的投入要素的比例，都具有一阶自相关性 ，则导致 具有一阶自相关性1111第二节 非线性单方程模型n模型概述n非线线性最小二乘法1212模型概述n解释变 量非线性模型l一般都可以化为线性模型n可化为线 性的包含参数非线性的模型l对数线性模型(Cobb-Dauglass生产函数模 型)n l其他几种通过变换 可化为线性的非线性模
5、 型1313模型概述（续）n不可化为线 性的包含参数非线性的模型l一般表达式n lf 为非线性函数，n 为样本容量l l是真正的非线性模型1414非线性最小二乘法（NLS）n非线性最小二乘原理nGauss-Newton迭代法nNewton-Raphson迭代法nGauss-Seidel迭代法n实例1515非线性最小二乘原理n非线性模型l单参数非线性模型n n残差平方和l l多参数非线性模型n n残差平方和l 1616非线性最小二乘原理（续）n非线性最小二乘法l使得残差平方和达到最小的 为的非线性最 小二乘估计l求解 通常是令残差平方和对的偏导等于零n单参数非线性模型l n多参数非线性模型l 1
6、717Gauss-Newton迭代法n原理l根据经验给 出参数估计值 的初值l将 在 处展开泰勒级数，取一阶近似 值n l令 ，则1818Gauss-Newton迭代法（续1）n原理（续1）l代入残差平方和式n l其中：l假设有一线性模型n n易求出其参数 的普通最小二乘估计值 ，该 估计值使得残差平方和式最小l 1919Gauss-Newton迭代法（续2）n原理（续2）l则估计值 同时也是使(1)式达到最小的n即线性模型(2)(线性伪模型)的OLS估计值就是原 非线性模型的一个近似估计值n将 作为参数估计值 的第一次迭代值l将 作为 的新的给定值，如前所述进行迭代 ，直至收敛n即连续两次得
7、到的参数估计值之差满足确定的标 准l至此完成非线性模型的OLS估计2020Gauss-Newton迭代法（续3）n步骤l给出参数估计值 的初值 ，将 在 处展开泰勒级数，取一阶近似值l计算 和 的样本观测值l采用OLS估计模型 ，得到 的估 计值l用 代替第一步中的 ，重复这一过程， 直至收敛2121Newton-Raphson迭代法n原理l作为Gauss-Newton迭代法的改进l当给出参数估计值 的初值 ，将残差平方 和式在 处展开泰勒级数，取二阶近似值n l使得上式达到极小的条件为n 2222Newton-Raphson迭代法（续1）n原理（续）l即：l则有：l将上式估计值作为第一次迭代
8、值 ，再进 行上述迭代，直至收敛2323Newton-Raphson迭代法（续2）n与Gauss-Newton迭代法的区别l直接对 展开泰勒级数，而不是对其中 的 展开l取二阶近似值，而非取一阶近似值n注意l为保证迭代所逼进的是总体极小值（即最 小值）而不是局部极小值，需要选择不同 的初值，进行多次迭代求解lGauss-Newton迭代法亦同2424Gauss-Seidel迭代法n迭代停止遵循的法则l基于回归函数或参数在每次迭代后的变化率n当待估参数的变化百分比的最大值小于事先给定的 水平时，就会停止迭代n未达到收敛却停止迭代的原因l迭代次数已经达到了给定的次数n应重新设定迭代次数以取得收敛l
9、经过一定迭代后，发出显示失败的错误信息n可选取不同的参数初始值，从不同方向逼近估计值2525实例n例5-1粮食产量(Y：万吨)通常是由粮食 生产劳动 力(L：万人)、化肥施用量(K： 万公斤)等因素决定的。下表是我国粮食 生产的有关数据(由于粮食生产劳动 力不 易统计 ，假定它在农业劳动 力中的比例 是一定的，故用农业劳动 力的数据代替) ，研究其间关系，建立Cobb-Douglas生 产函数模型lCobb-Douglas生产函数模型为n 2626实例（续）n估计结 果l取初始值c(1)=c(2)=0.5，估计结果如下n l从参数估计值看n=0.7636，其经济意义为劳动 力对产量的弹性 系数
10、，即当劳动力增长1%时，粮食总产量增加 0.7624%n对化肥施用量而言，弹性为0.2364n从弹性系数的比较来看，劳动力弹性大于化肥 施用量弹性，反映出它在粮食生产中的贡献较大2727第三节 非因果关系的 单方程模型n增长长曲线线模型n多项项式增长长曲线线模型n简单简单 指数型增长长曲线线模型n修正指数型增长长曲线线模型nLogistic增长长曲线线模型nGompertz增长长曲线线模型2828增长曲线模型n增长曲线模型l描述经济变 量随时间变 化的规律l从已经发生的经济活动中寻找这种规律， 并用于未来的经济预测l不属于因果关系模型n时间并不是经济活动变化的原因n类别l多项式增长曲线模型l简
11、单指数型增长曲线模型l修正指数型增长曲线模型lLogistic增长曲线模型lGompertz增长曲线模型2929多项式增长曲线模型n一般数学形式l nyt：第t期的某个经济指标；t：时间na0，a1，ak：模型参数l常见形式nk=0，增长曲线为一条与时间轴 平行的直线nk=1，增长曲线为一条截距为a0 ，斜率为a1的直 线nk=2，增长曲线为一条抛物线n参数估计方法l采用变量置换法将模型化为线性进行估计3030简单指数型增长曲线模型n一般形式l n当a0、b1时，y 随着t 的增加而无限制的增大n当a0、00、b1时， y 随着t 的减少直至-而逼近于Ln当a0、0b1时，y 随着t 的增加直
12、至+而趋向于Ll描述初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终 以K为增长极限的现象n参数估计方法l线性化估计l“三和法”估计3232Logistic增长曲线nLogistic增长曲线l俗称“S曲线”，Verhulst于1845年提出l当时主要目的是模拟人口的增长n一般形式l广义: n l狭义：3333Logistic增长曲线（续1）n特点ly随着t 的增加直至+ 而趋向于L，L即为y的 饱和值；反之，当t - 时，y 0l增长曲线具有一个拐点n拐点之前，y的增长速度越来越快n拐点之后，y的增长速度越来越慢，逐渐趋近于0n应用l描述初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到 一定程度后，增长率又逐渐下降，
13、最后接近 一条水平线的现象n常用于描述事物发展由萌芽、成长到饱和的状态n例如，一种新产品、新技术的普及率，一种耐用 品的存量3434Logistic增长曲线（续2）n参数估计方法l线性化估计n将模型线性化n用线性模型的参数估计方法估计其参数l“三和法”估计n是增长曲线模型的一种代数估计方法l非线性估计n采用非线性最小二乘法即可直接估计模型3535Gompertz增长曲线模型nGompertz增长曲线模型l由B. Gompertz于1825年提出l一般形式n lK、a、b为待估参数l特点nL为y的上限逼近值，0为y的下限逼近值n与Logistic增长曲线相似l二者的拐点的位置不同n具有广泛的适用
14、性 3636Gompertz增长曲线模型（续）n参数估计方法l线性化估计n l“三和法”估计n l非线性估计37373838模型的估计nn0已知n可分段建模，分段估计模型n n分别估计两个方程，得到参数估计量n也可建立统一的模型n n其中D为虚拟变量，其样本观测值为n直接估计则可得到参数估计量383939模型的估计（续1）nn0未知，但 var(1i )= var(2i )n一般可以选择不同的n0 ，按照n0已知的方法进行试估计，从多次试估计中选择最优 者n选择标准n使得两段方程的残差平方和最小394040模型的估计（续2）nn0未知，且 var(1i ) var(2i )n假设1i N( 0
15、,12 )， 2i N( 0,22 )，且不存在自相关n构造关于n0的对数似然函数(Goldfeld和 Quandt， 1973)n遍取1,2,n作为n0的可能值，代入对数似然函数n选择使得对数似然函数最大的n0值作为突变点的估计值404141其他几种通过变换可化为线性的非线性模型非线性模型变换形式线性模型414242修正指数型增长曲线模型n线性化估计n n给定K值，通过两边对数变换后，将模型化为线性模型进行估计n反复试算，选择使y的估计值与观测值拟合最好的K以及在该K值下估计得到的a和 b的 估计值，作为原模型参数的估计结果424343修正指数型增长曲线模型（续）n“三和法”估计n n 434444Logistic增长曲线n线性化估计n n若给定L，即可写为n n则可方便的估计模型的参数444545Logistic增长曲线（续1）n线性化估计（续）nL的确定n根据模型的经济背景给出L的上下限n如一种新产品、新技术的普及率的上限为100%，下限为已经实现的普及率n分别以上下限作为L的给定值，估计模型，计算
