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1、 平稳过程通过线性时不变系统的时域分析 平稳过程通过线性时不变系统的频域分析 多个随机过程之和通过线性系统 白噪声通过线性系统 线性系统输出随机过程的概率分布第五章 随机过程通过线性系统 确定信号通过线性时不变系统。确知信号x(t), 线性时不变系统的冲击响应h(t)。v 时域：确定信号通过线性时不变系统。确知信号x(t), 线性时不变系统的冲击响应h(t)。问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入 、输出以及与系统函数间的关系如何？若 物理可实现，且x(t)有界，则有v 频域：所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述.即:设 随机信号
2、 若每一样本函数 都是有界的,即有:时域表示：则对照可得系统输出随机信号的时域形式：当随机过程是平稳时,输出过程的频域特性可用功率谱来描 述。问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过 程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么 结论？时域的统计特征? 频域的统计特征?频域表示5.1 平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析输出过程的均值=输入过程的均值H(0)常数。u1系统输出Y(t)的均值 :h(t)u2系统输出Y(t) 的自相关函数: 输出过程 RY() 只与时间差 有关，而与时 间 起点 t 无关。 常数 t 的函数 平稳随机过程通过线性时不变系统的 输出过程也是平稳的。且有：
3、同理可证，u3系统输入与输出之间的互相关函数:h(t)h(-t)h(-t)h(t)当X(t)为白噪声，即 时，则即有 该式说明：通过互相关函数测量设备测得 则可用功率谱密度为 的白噪声激励线性系统来估计 线性系统的冲击响应。例: 线性系统冲击响应的检测n4物理可实现(因果)系统的响应| 物理可实现系统的条件：因果性将该条件代入上述关系式，可得 注意：卷积关系不再成立。n平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程h(t)：线性时不变系统的冲击响应注意：物理可实现系统的条件。通过表5.1中第一栏的系统. 求输出Y(t)的自相关函数 :例5.1 设白噪声的功率谱密度 ， 由
4、时域求取相关函数需要进 行卷积运算时域的卷积频域的相乘令： 则5.2 平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1系统输出Y(t)的功率谱密度令 ，则，系统的输出功率=系统的输入功率 |H()| 2 |H()|2 称为系统的功率传输函数。系统的输出的均方值或平均功率系统输出Y(t)的自相关函数2. 系统输入与输出之间的互谱密度由付氏变换性质可得:例: 当输入为白噪声，即GX()=N0/2时，则 : 如果能设法测得GXY() 或GYX() ， 则可 估计线性系统的传输函数 H() 。n平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：GX() ：输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度;H() ： 线性时
5、不变系统的传输函数;|H()|2 ：线线性时时不变变系统统的功率传输传输 函数;GY() ：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度；GXY() ：输入X(t)与输出平稳随机过程Y(t)的互谱密度。假设一个零均值平稳随机过程加到冲激响应为（t.=0）的线形滤波器中，证明证明：例题：假设一个零均值平稳随机过程，加到冲激响应为 的线性滤波器中，证明输出功率谱密度为。 证明：所以，例题：通过表5.1中第一栏的系统. 求输出Y(t)的自相关函数 :例5.1 设白噪声的功率谱密度 ， 频域：系统的输出的均方值或平均功率系统输出Y(t)的自相关函数例: 5.11如图所示的线性电路,输入电压为：X(t)=X0+
6、cos(2pt+F ），式中，X0为0，1上均匀分布的随机变量。 X0, F统计独立， F 在0，2p上均匀分布。两者相互独立。求输出的自相关函数 。 解：输入过程相关函数为：输输入过过程功率谱谱密度系统函数： 输出过程功率谱密度7设平稳随机过程的自相关函数为 。通过如下图所示的积分电路。求的功率谱密度。解：， ； 7设平稳随机过程的自相关函数为 。通过如下图所示的积分电路。求的功率谱密度。解：； 5.19 假设某积分电路输入与输出之间的关系满足：，式中T为积分时间，设输入输出都是平稳过程，求证输出功率 谱密度为：5.3 多个随机过程之和通过线性系统设 X1(t) 和 X2(t)单独平稳，且联
7、合平稳，则线性系统的输 出Y(t)的特性为：(1)输出Y(t)的均值h(t)(2)输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度推论： 若X1(t) 和 X2(t)互不相关，则 若X1(t) 和 X2(t)互不相关，且均值为零，则(3) 输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度则系统输出 的功率谱密度为:5.4 白噪声通过线性系统设白噪声的功率谱密度 ， 双边功率谱密度， 单边功率谱密度 : 系统输出功率谱密度不再是均匀的，其形状 完全取决 于系统的频率特性H()。系统输出Y(t)也不再是白噪声。 H(w) GY()、 RY()的求解都需要知道|H()|，因此 |H()|越复杂， GY()和
8、 RY()的计算就越困难。系统输出Y(t) 的平均功率为:*363 白噪声通过线性系统等效噪声带宽在一般的线性系统中，通常用3dB带宽来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；等效噪声带宽则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们都仅由系统本身的参数决定。当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是 困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为 矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个 非常重要的概念等效噪声带宽，它被定义为理想系统 的带宽。若在保持平均功率 不变的条件下，把实际系统 输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。 若等效的功率谱密度的高度为 则这个带宽就
9、定义为 等效噪声带宽*373 白噪声通过线性系统等效噪声带宽等效原则：平均功率相等等效系统的功率谱密度n计算实际系统的等效噪声带宽H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱密度为白噪声激励 消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为 理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 等效噪声带宽n实际系统的等效噪声带宽为 对于一般的低通滤波器的最大值出现在0处，即对于中心频率为 带通系统(如单调谐回路) 的最大值出现在处，即5.4.1 等效噪声带宽当输入相同的白噪声时，用输出噪声平均功率相等 的方法，寻求一个在频带中心的功率传输函数值与 实际系统相等，且具有矩形传输函数特性
10、的理想系 统。以简化系统分析中的运算。 则实际系统的等效噪声带宽 定义为v 理想低通线性系统的功率传输函数为v 设理想带通线性系统的功率传输函数为其中， 为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效 噪声带宽为表示：系统对噪声功率谱的选择性。都取决于系统的传输函数 .线性系统通频带宽(3dB带宽)：系统频率特性曲线半功率点的通频带宽.窄带单调谐电路系统： 双调谐电路系统： 高斯频率特性的电路系统： 级联调谐电路越多的电路系统，两者越接近。(2) 线性系统的通频带宽与等效噪声带宽的关系不同结构的系统中, 两者关系如下：-DweDwen5.29 某个放大器，其功率增益随频频率的变变化为为 ，n求：该
11、该放大器的噪声带宽带宽 。n解：5.4.2 白噪声通过理想线性系统有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪声带宽的理想 系统来等效或逼近实际系统。系统输入白噪声单边功率谱密度为：u 白噪声通过理想低通线性系统理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为：A0设白噪声的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数 输出平均功率 输出相关系数 输出相关时间 3 白噪声通过理想低通系统1) 输出单边功率谱密度 2) 输出相关函数 3) 输出平均功率系统输出特性如下：4) 输出Y(t)的自相关系数 5) 输出Y(t)的相关时间输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。u白噪
12、声通过理想带通线性系统理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：， 则系统输出特性如下：1) 输出单边功率谱密度 若系统满足条件 时，则该系统称为窄带系统； 若随机过程的功率谱密度满足条件 时，则该随机过程称为窄带过程。2) 输出相关函数理想低通的输 出相关函数这说明，一个窄带系统（满足 ） 窄带系统输出相关函数=等效低通系统输出相关函数 X 2 cos0 的变化只与有关，因此若满足条件，则的变化将比的变化慢得多。一般 为的包络。 称-2p/Dw0 2p/Dw0t3) 输出平均功率4) 输出 的自相关系数自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。5) 输出Y(t)的
13、相关时间注意：上式利用窄带过程的条件，由 的包络定义相 关时间。因此 反映的是窄带过程包络的相关时间。输 出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此可 知 ，输出过程包络随时间变化越快；反之则越 慢。高斯频率特性线性系统的传输函数正半轴部分为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：1） 输出单边功率谱密度u白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统输出性质 :2) 输出相关函数其中， 为等效低通传输函数。窄带系统输出相关函数=2 cos0 等效低通系统输出相关函数4) 输出Y(t)的自相关系数 5) 输出Y(t)的等效噪声带宽 3) 输出平均功率5.5 线性系统输出随机过程的概率分布一般情况: 很难
14、从理论上找到一般的求解输出随机过程的概率分布。多采用实验估计方法。特殊情况：1）输入为高斯过程，输出也是高斯过程；2）输入非高斯过程，但输入过程的带宽远大于线性系 统的带宽时，则线性系统输出随机过程的概率分布y 也服从高斯过程。 即：任一时刻 t 的Y(t)是无限多个高斯随机变量 X(t-tk) 的线性组合。 由于多维高斯随机变量的线性组合仍为多维高斯随机变量， 故高斯过程X(t)通过线性系统的输出Y(t)也是高斯过程。注意：虽然输出过程是高斯过程，但数字特征已改变。高斯随机变量确定量1高斯过程X(t)通过线性系统的输出过程Y(t)的分布若X(t)是一高斯过程，则Y(t)也是一高斯过程。 2宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布若输入非高斯过程X(t)的功率谱带宽D fX 与 线性系统带宽 D f 满足： 则系统输出Y(t) 的概率分布
