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1、 返回上页下页第一节 导数的概念 一、 导数概念的引入 例1 求变速直线运动的瞬时速度.设某物体作变速直 线运动,在0,t内所走过的路程为s=s(t)(已知),求物体在 时刻t0的瞬时速度vv(t0). 我们知道:匀速直线运动速度要求变速直线运动的瞬时速度：1.先求出物体在t0,t0+t这一小段时间内的平均速 度: 当t很小时, 平均速度可作为v(t0)的近似值. 返回上页下页在t0,t0+ t这段时间内的平均速度为 2.当t无限变小时,平均速度将无限接近于v( ).返回上页下页例2 求曲线的切线斜率设曲线C及C上一点M,在M点外任取一点NC,作割 线MN,当点N沿曲线C趋向于点M时,如果割线
2、MN趋 向于它的极限位置MT,则称直线MT为曲线C在点M 处的切线. 割线MT的斜率 返回上页下页当x0时,点N沿曲线C趋于M,由切线定义知MN趋于 MT，从而 ,tantan,即切线斜率总结:求函数的改变量与自 变量的改变量的比值,当自 变量的改变量趋于0时的 极限, 这种形式的极限就称为函数的导数 返回上页下页二、 导数的定义 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义, 当自变量x在x0处取得增量x点x0+x仍在U(x0)内时, 相应地函数y取得增量y=f(x0+ x)-f(x0),如果极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称该极限值为函 数y=f(x)在点
3、x0处的导数,记为f(x0),也可记作返回上页下页函数f(x)在点 处可导有时也说成f(x)在点 具有导数或导数存在函数f(x)在 处导数的定义式也可写成不同的 形式，如返回上页下页例1 假定 (1) f( )存在，求下列极限:(3) 解 (1)(2)返回上页下页(3)返回上页下页如果 不存在(包括),则称函数y=f(x)在点x0处不可导或没有导数.但当极限为时, 也常说函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则 称f(x)在区间(a,b)内可导.此时对于该区间的每一点x 都有一个导数值 与之对应,这就构成了一个新函 数.这个函数称为f(x)
4、在(a,b)内的导函数(简称导数),记 作f(x), y , ,即f(x)注返回上页下页求函数y=f(x)在x处的导数可分为三步： (1) 求增量 对自变量在x处给以增量x,相应求出函 数的增量y=f(x+x) -f(x);(2) 算比值 (3) 取极限 返回上页下页求函数f(x)=C,x(-,+)的导数,其中C为常数.例1 解返回上页下页例2解以后我们可以证明，对于幂函数y= 仍有 ( )= 成立返回上页下页例3解返回上页下页例4解返回上页下页解例5（cosx）sinx类似地，可以得到返回上页下页2.右导数:单侧导数1.左导数:返回上页下页例6 讨论函数f(x)=x在x=0处的导数的存在性解
5、因为；=所以，不存在，即函数f(x)=x在x=0处不可导返回上页下页例6另解返回上页下页三、 导数的几何意义函数f(x)在点x0的导数f(x0)的几何意义就是曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即f(x0) =tan ( /2)，其中是切线的倾角 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的法线方程为y-f(x0)= (x-x0) (f(x0) 0)返回上页下页例7 求曲线y=x2在点M0(1,1)处的切线方程和法线方程. 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为 解从而得切线方程为 y-1=
6、2(x-1) 即 2x-y-1=0法线方程为 即 x+2y-3=0返回上页下页例8 曲线y在(0，0)处是否有切线?函数y在x=0处是否可导?处有垂直于x轴的切线x=0，而故f(0)，即y=在点x=0处不可导在(0，0)，解 由图可知，根据切线的定义，y=返回上页下页四、 可导与连续的关系定理2 如果函数f(x)在点x0处可导,则函数f(x)在点x0处 必连续证 因为函数f(x)在点x0处可导,则 根据函数极限与无穷小量的关系,得返回上页下页从而 f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)当xx0时,f(x)-f(x0)0,所以函数f(x)在x0处连续. 注意:逆命题不成立,即
7、函数在某点连续却不一定在 该点处可导. 例如，函数f(x)=x在x=0点处是连续的，但在 x=0点处却不可导返回上页下页例9 试确定常数a,b之值，使函数在x=0点处可导f(x)=解 由可导与连续的关系，首先f(x)在x=0点处必 须是连续的，即f(0-0)= f(x)= (2ex+a)=2+a=f(0+0)= f(x)= (x2+bx+1)=1=f(0)f(0)所以 2+a=1, 即 a=-1返回上页下页又(0) =，(0)= b(0)= （），由此得 b=2 故当取a，b=2时，f(x)在x=0点处可导返回上页下页4返回上页下页返回上页下页第二节 求导法则 一、 函数四则运算的求导法则定理
8、1 设u=u(x)和v=v(x)都在x处可导,则y=uv也在x 处可导,且有(uv)=uv 证 设当x有增量x时,u,v所对应的增量分别为u, v.这时函数y的增量为y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=u(x+x)-u(x)v(x+x)-v(x)=uv返回上页下页注意:定理可推广到有限个函数代数和的情形.返回上页下页定理2 设u(x)和v(x)在x处可导,则y=uv也在x处可导, 且有(uv) =uv+uv 证 y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x+x)+u(x)v(x+x)-u(x)v(x)=uv(x+x)+u(x)v=uv+u
9、v+uv返回上页下页u(x)在x点处可导时必在x点连续,即 =0,则 返回上页下页定理3 设u(x)和v(x)在x处可导,又v(x)0,则y= 也在x处 可导,且有证返回上页下页返回上页下页例1解例2解返回上页下页例3解同理可得返回上页下页例4解同理可得返回上页下页练 习 题返回上页下页二、 复合函数的求导法则y(x)=f (u) (x)= 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)定理4 设函数y=f(x)由简单函数y=f(u)及u=(x)复合而成，而u=(x)在点x处可导,y=f(u)在对应点处可导,则复合函数y=f(x)在点x处可导,且有也可
10、写成f (x) (x)返回上页下页推广例1解返回上页下页例2 求 的导数.另解 令解另解返回上页下页例3解返回上页下页例4解返回上页下页例5解例6解返回上页下页例7 求 的导数.,解 x0时，由第一节例4知所以，对一切返回上页下页例8解= ln(1+x) =_=1返回上页下页练 习 题. 返回上页下页三、 反函数的求导法则定理5 设严格单调连续函数x=(y)在某区间Iy内可导 且 (y)0,则其反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且有即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.返回上页下页例8解返回上页下页例9解返回上页下页四、 基本导数公式 1.基本初等函数的导数公式返回上页下页返回上页下
11、页2. 函数四则运算的求导法则设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导,则下列各等式成立:返回上页下页3. 复合函数求导法则4. 反函数求导法则设x=(y)与 y=f(x)互为反函数, (y)存在且不为零, 则设u=(x)在x点可导, y=f(u)在相应u点可导,则返回上页下页例1解返回上页下页例2解返回上页下页练 习 题-999!返回上页下页返回上页下页练习题答案返回上页下页定义 :隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.五、隐函数的导数返回上页下页例1求方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数将方程两边关
12、于x求导，解返回上页下页例2解解得返回上页下页例3解所求切线方程为返回上页下页返回上页下页观察函数方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -取对数求导法 适用范围:六 、 取对数求导法返回上页下页例1解 两边取对数得 lny=sinxlnx两边对x求导,得返回上页下页先在两边取对数,得lny=2ln(x2+2)-ln(x4+1)-ln(x2+1). 上式两边对x求导,得例2解返回上页下页例3 求y=的导数解 两边取对数，得lny=ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4),上式两边对x求导，得， y= 所以y返回上页下页例如消去参数问题: 消参困难
13、或无法消参如何求导?七 、由参数方程确定的函数的导数返回上页下页由复合函数及反函数的求导法则得返回上页下页例1解返回上页下页求下列函数的导数：返回上页下页第三节 高阶导数设函数y=f(x)的导数y=f (x)在(a,b)内存在且仍可导,记f (x)的导数为f(x), y 或 ,即y =f(x)= =f (x) ,称为f(x)的二阶导数 若y仍可导,则记y(3)=f(3)(x)= =f (x),称为 f(x)的三阶导数若y=f(x)的n-1阶导数存在且仍可导,则记 y(n)=f(n)(x)= =f(n-1)(x),称为f(x)的n阶导数返回上页下页例1解返回上页下页例2解返回上页下页例3 求由方
14、程x-y+siny=0所确定的隐函数y=y(x)的 二阶导数 解 先求一阶导数方程两边对x求导，有1-y+cosyy=0 再求y,有=， 将y的表达式代入，得解得yy=y=返回上页下页例4解返回上页下页练 习 题返回上页下页； 返回上页下页返回上页下页实例:求边长为 的正方形金属薄片受热后面 积的改变量的近似值.第四节 微分及其运算于是返回上页下页再例如,既容易计算又是较好的近似值问题是:这个线性函数(改变量的主要部分)是 否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?返回上页下页定义1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 ,x0+x在U(x0)内,如果f(x)在点x0处的增量y
15、可以表示 为 y=Ax+o(x)，(其中A与x无关,o(x)是 x的高阶无穷小量),则称函 数y=f(x)在x0处是可微的,且称Ax为函数y=f(x)在x0处 的微分,记作dy或df(x),即 dy=Ax一、微分的定义返回上页下页二、 微分与导数的关系定理1 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是f(x)在点x0 可导,且有dy=f(x0)x证 必要性 设y=f(x)在点x0可微,即y=Ax+o(x)所以,f(x)在点x0可导,且有A=f(x0)返回上页下页定理1 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是f(x)在点x0 可导,且有dy=f(x0)x于是 y= f(x0) x+x由极限与无穷小的关系,得显然,x0时, x=o(x),且f(x0)与 x无关,由微分定
