概率统计ppt

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1、概率与统计概率与统计开课学院、系：经济学院主讲教师 阿勇嘎 2012年春季61教材：概率与统计(第二版） 陈萍 等编 科学出版社参考书：1.概率论与数理统计浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社2. 概率论与数理统计三十三讲魏振军 编中国统计出版社序 言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学的统计规律性的科学 第一章 随机事件及其概率随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性 1.1随机事件及其概率一、随机试验(简称“试验”)随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行；

2、 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果 ; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机实验的例随机事件二、样本空间(p2)1. 样本空间：试验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S=e；2. 样本点: 试验的每一个结果或样本空间

3、的元 素称为一个样本点,记为e. 3. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,也记为e. EX 给出E1-E7的样本空间幻灯片 6随机事件1.定义 (p3) 试验中可能出现或可能不出现的情况 叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如:对于试验E4，以下A 、B、C即为三个随机事件 A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=H

4、TT，THT，TTH三、事件之间的关系可见，可以用文字表示事件，也可以事件表示为样 本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于 今后计算概率还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一 定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时， 可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何 情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系 是由它们所包含的样本点所决定的，这种关系可以 用集合之间的关系来描述。 1.包含关系(p4)“ A发生必导致B发生”记为ABAB AB且BA.2.2.和事件：和事件： (p4)“ “事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生” ”，记作，记作A AB B2n

5、个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作3.积事件(p4) :A与B同时发生，记作 ABAB3n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An4.差事件(p4) ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不 发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件(p5) ：AB 6. 互逆的事件(p5) AB , 且AB 五、事件的运算(p5)1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC) 4、德摩根(De Morgan)律： 例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以

6、A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：1.2 概率的定义及其运算从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性P（A）应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？(p6)若某试验E满足1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ;2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型与概率设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有P(A)具

7、有如下性质(P7)(1) 0 P(A) 1；(2) P(S)1； P( )=0(3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B)古典概型中的概率(P7):例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT二、古典概型的几类基本问题乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念加法公式：设完成一件

8、事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，n n nn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.n n-1 n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有种取法.1、抽球问题 例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白答:取到一红一白的概率为3

9、/5一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是在实践中，产品的检验、疾病的抽查 、农作物的选种等均可化为随机抽球 问题。我们选择抽球模型的目的在于 是问题的数学意义更加突出,而不必 过多的交代实际背景。2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)， 则每盒至多有一球的概率是：P8某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？3.分组问题 例3 30名学生中有3名运动员，

10、将这30名学生平均分 成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：4 随机取数问题例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分别为： 33/200,1/8,1/25某人向

11、目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（A）=？定义:(p9) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即fn(A) nA/n.1.3 频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005频率的性质(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0

12、(3) 可加性：若AB ，则fn(AB) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率1.3.2. 概率的公理化定义注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义1.定义(p10) 若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性： P(A) 0；(2) 规范性：P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不 相容的事件，

13、即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质 P(10-12) (1) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差 A、B是两个事件 ，则 P(A-B)=P(A)-P(AB) (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B) (4) 加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n

14、个事件A1，A2，An的情形；(3) 互补性：P(A)1 P(A);(5) 可分性：对任意两事件A、B，有P(A)P(AB)P(AB ) . 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分 别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同 时定甲,乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙 报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸 的概率.解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率； （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率； （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A取到的数能被2整除; B-取到的数能被3整除故作业2,3袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球 ，则第二个人取到红球的概率 又是多少？一、条件概率 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽 取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的