《[自然科学]第六周第二次课_初等矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[自然科学]第六周第二次课_初等矩阵（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 几何与代数几何与代数 主讲主讲: : 王小六王小六 海 报讲座内容：如何学好几何与代数演讲人：陈建龙 教授（博导）时间： 11月2日（下周一）晚 6：30 地点：教一311第二章第二章 矩阵矩阵第五节第五节 初等矩阵初等矩阵第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵E E r ri ir rj j P P( (i i, , j j) ) (1) (1) 一次初等变换一次初等变换 1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵 A B ( r(A)=r(B) )A 和 B之间 有什么联系?一一. . 初等矩阵与矩阵的乘积初等矩阵与矩阵的乘积P P
2、( (i i, , j j) = ) = 第第i i行行1 1 1 1 0 10 11 01 01 1 1 1 1 1 1 1 第第j j行行第第i i列列第第j j列列E E r ri ir rj j P P( (i i, , j j) ) (1) (1) E E c ci ic cj j 第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 1 1 P P( (i i( (k k) ) = = 第第i i行行1 1 k k 1 1 1 1 第第i i列列E E c ci i k k E E r ri i k k P P( (i i( (k k) ) (2) (2) 第二章第二章 矩阵矩
3、阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 P P( (i i, , j j( (k k) ) = = 第第i i行行 1 1 k k 1 1 1 1 第第j j行行 第第i i列列第第j j列列1 1 E E c cj j+ +k kc ci iE E r ri i+ +k kr rj j P P( (i i, , j j( (k k) ) (3) (3) c ci i+ +k kc cj j P P( (j j, , i i( (k k) )第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 2. 2. 初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性 (1)(1) P P( (i i, , j j) )
4、 1 1= = P P( (i i, , j j), ), (2) (2) P P( (i i( (k k) ) 1 1= = P P( (i i( (k k 1 1), ), (3) (3) P P( (i i, , j j( (k k) ) 1 1= = P P( (i i, , j j( ( k k). ). 例如例如3 3阶初等矩阵阶初等矩阵P P(1, 3(1, 3(5 5) = ) = 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , , P P(1, 3(1, 3( 5 5) =) =1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
5、 , , 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 . . = = 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 3. 矩阵的代数运算与初等变换之 间的关系0 1 00 1 0 1 0 01 0 0 0 0 10 0 1a b ca b c x y zx y z 1 2 31 2 3, ,= =x y zx y z a b ca b c 1 2 31 2 30 1 00 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1
6、0 0 1a a x x 1 1 b b y y 2 2 c c z z 3 3, ,= =x x a a 1 1 y y b b 2 2 z z c c 3 31 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 0 k ka b ca b c x y zx y z 1 2 31 2 3, ,= =a a b cb c x x y zy zk k 2 2k k3 3k k1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 0 k ka a x x 1 1 b b y y 2 2 c c z z 3 3, ,= =a a x x k k b b y y 2 2k k c c z z 3
7、3k k1 1 k k 0 0 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1a b ca b c x y zx y z 1 2 31 2 3, ,= =a a+k+kx x b b+k+ky y c c+k+kz zx y z x y z1 2 3 1 2 31 1 k k 0 0 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1a a x x 1 1 b b y y 2 2 c c z z 3 3. .= =a a a ak+k+x x 1 1 b b b bk+k+y y 2 2 c c c ck+k+z z 3 3第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 定理定理 2.42.4.
8、 . 对对mm n n矩阵矩阵A A进行一次初等进行一次初等行行变换变换 相当于在相当于在A A的的左左边乘以相应的初等边乘以相应的初等 矩阵矩阵; ; 对对A A施行一次初等施行一次初等列列变换相变换相当于在当于在A A的的右右边乘以相应的初等矩边乘以相应的初等矩阵阵. .第二章第二章 矩阵矩阵 2.5 2.5 初等矩阵初等矩阵 例例 假设= ，B = ,求矩阵C, 使得A=BC.a b c d e fa b+3c c d e+3f f第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 推论推论*1*1 对任何对任何mm n n矩阵矩阵A A, , 存在存在mm阶初
9、等矩阵阶初等矩阵 P P1 1, , P P2 2, , , , P Ps s使得使得 P Ps sP P2 2P P1 1A 为简化阶梯形矩阵为简化阶梯形矩阵. . 例如例如, , 0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 0 0 1 1 2 2 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 ( ( 2) 2) 1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A A = = A A 0 0 1 1 1 0 1 0 = = A A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 A A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/2
10、1/2 0 0 0 1 0 1 = = 1 1 2 2 0 1 0 1 第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 推论推论*2*2 若若 mm n n 矩阵矩阵A A和和B B等价等价( (即即A AB B或或r(A)r(A)=r(B) =r(B), ), 则则 mm阶初等矩阵阶初等矩阵P P1 1, , P P2 2, , , , P Ps s及及n n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q Q1 1, , Q Q2 2, , , , Q Qt t s.t. s.t. P Ps sP P2 2P P1 1AQ Q1 1Q Q2 2Q Qt t= = B B . .推论推
11、论2.32.3 第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 推论推论*3*3 mm n n 矩阵矩阵A A, ,若若r(A)=rr(A)=r, , 则则 mm阶阶初等矩阵初等矩阵P P1 1, , P P2 2, , , , P Ps s及及n n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q Q1 1, , Q Q2 2, , , , Q Qt t s.t. s.t. P Ps sP P2 2P P1 1AQ Q1 1Q Q2 2Q Qt t= = E E . .mm n n ( (r r) ) 推论推论2.32.3 第一章第一章 矩阵矩阵 1. 1. 可逆矩阵的分解可逆矩阵的分
12、解 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 二二. . 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 定理定理2.52.5. . A A可逆可逆A A可写成初等矩阵的乘积可写成初等矩阵的乘积. . 推论推论 2.12.1.设设A,BA,B是是mm n n矩阵矩阵, , 则则 A AB B存在可存在可 逆矩阵逆矩阵P P和和Q Q, ,使得使得B=PAQB=PAQ推论推论 2.22.2.设设A,BA,B是是mm n n矩阵矩阵, , 则则 r(r(A)=A)=r r(B)(B) 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P P和和Q Q, ,使得使得 B=PAQB=PAQ第一章第一章 矩阵矩阵 2. 2. 矩阵的一个标
13、准分解矩阵的一个标准分解 推论推论 2.32.3. . 设设A A是是mm n n矩阵矩阵, , 则则 r(A)=r r(A)=r 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P P和和Q Q使得使得 A A = = P QP Q. .1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 ( (回忆回忆推论推论*2*2 ) ) 3. 3. 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 依据之一依据之一: : 可逆矩阵经过初等行变换可化为可逆矩阵经过初等行变换可化为 简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵 E E. . 依据之二依据之二: : 初等变换与初等矩阵间的联系初等变换与初等矩阵间的联系. . 第一章第一章 矩阵矩阵 设设A A可逆可逆, , 则则A A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为变换化为 行行最
