概率论与数理统计课件

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1、概率统计概率论与数理统计 第一章_1第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型（古典概型） 第五节 条件概率 第一章 概率论的基本概念 第六节 独立性 第一章_2第一章 概率论的基本概念 确定性现象： 统计规律性 随机现象： 在一定条件下必然发生的现象. 在个别试验中其结果呈现出 不确定性 , 在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象. Section1_1随机试验： 第一节 随机试验 随机试验，简称 试验 . 试验可在相同的条件下重复进行； 满足以下三个特点的试验称为 每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能 结果是明确可知的； 进行一次试验

2、之前不能确定哪一个结果会出现. Section2_1第二节 样本空间、随机事件 随机试验 E 的所有可能结果所组成的 集合 称为 试验 E 的 样本空间 . 记为 S 或 . 样本空间的元素，即 E 的每一个结果称为 样本点 . 一、样本空间 例1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. = H , T 例2. 将一枚硬币抛掷三次, 观察正反面出现的情况. = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT Section2_1_1例3. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. = 0 , 1 , 2 , 3 例4. 抛一颗骰子，观察出现的点数.

3、 = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 例5. 观察某天通过某路口的汽车的数目. = 0 , 1 , 2 , 3 , 例6. 在区间0 , 1上任取一数，观察所取到的数. = x | 0 x 1 Section2_2试验 E 的样本空间 的子集，或试验 E 的满足某 些条件的可能结果的集合，称为 E 的 随机事件 ，简称 事件 . 二、随机事件 在每次试验中，当且仅当 事件中的 一个样本点 出现 时，称这个 事件发生 . 基本事件： 由一个样本点组成的单点集. 必然事件： 样本空间 ， 即每次试验一定发生的事件. 不可能事件： 空集 ， 即每次试验一定不发生的事件. Section2

4、_2_1随机事件与集合 样本空间 = ：全集 样本点 ： 中的元素 随机事件 A ：由具有某些 特性的样本点 所组成的样本 空间 的一个子集，即 A . A Section2_2_2例7. 将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之 和超过 2 为止. 写出样本空间与事件 A = 恰好抛掷骰子一次 . 解： = 3 , 4 , 5 , 6 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 A = 3 , 4 , 5 , 6 Section2_31. 包含 含义：事件

5、A 发生必然导致事件 B 发生. 三、事件间的关系与事件的运算 若 A B ，则称 事件 B 包含事件 A . 若 A B 且 B A ，则称事件 A 与事件 B 相等 ， 记作 A = B . Section2_3_1事件 AB 发生. 事件 B 的 和事件 或 并事件 . 2. 和（并） 含义：当且仅当事件 A、B 中至少有一个发生时， 事件 AB = | A 或 B 称为事件 A 与 称 为 n 个事件 的和事件； 称 为可列个事件 的和事件. Section2_3_2事件 AB 发生. 事件 B 的 积事件 或 交事件 . 3. 积（交） 含义：当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时

6、， 事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与 称 为 n 个事件 的积事件； 称 为可列个事件 的积事件. Section2_3_3事件 AB 发生. 4. 差 含义：当且仅当事件 A 发生、事件 B 不发生时， 事件 B 的 差事件. 事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与 Section2_3_45. 互不相容（互斥） 含义：事件 A 与事件 B 不能同时发生. 互不相容 的，或 互斥 的. 若 AB = ，则称事件 A 与 事件 B 是 可列个（有限个）事件 两两互不相容 . Section2_3_56. 对立（互逆） 含义：在每次试验中，事件 A 与事件 B 必有 一

7、个 互为 对立事件 或 互为 逆事件 . 若 AB = 且 AB = ，则称事件 A 与事件 B 发生，且 仅有 一个发生. 事件 A 的对立事件记作： . 注意： ABSection2_3_6例1. 将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数. 令 A = 两次掷出的点数相同 ， B = 点数之和为 10 C = 最小点数为 4 . 写出该试验的样本空间. 用样本点表示事件 A , B , C 以及 AB , ABC , AC , CA , A( BC ) . 解： = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 31 ,

8、32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 Section2_3_6_1A = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 B = 46 , 55 , 64 C = 44 , 45 , 46 , 54 , 64 AB = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ABC = AC = 11 , 22 , 33 , 55 , 66 CA = 45 , 46 , 54 ,

9、64 A( BC ) = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 Section2_42. 交换律：AB = BA ， AB = BA . 四、事件运算的性质 3. 结合律：A( BC ) = ( AB )C ， A( BC ) = ( AB )C . 4. 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ) ， A( BC ) = ( AB )( AC ) . 1. 吸收律： 若 A B ，则 AB = A ，AB = B . （交 取小，并 取大） Section2_4_16. 双重否定律： . 差积转换公式： . 直和分解公式：将一事件分解为若干个互

10、不相 5. 德摩根律： . 其它的重要性质： 容事件之和. Section2_4_2例2. 设 A , B , C 为三个事件，试用 A , B , C 表示 下列事件： A , B 中 A 发生；只有 A 发生. A , B , C 中至少有一个发生；恰好有一个发生. A , B , C 中至少有两个发生；恰好有两个发生 . A , B , C 中最多有一个发生. A , B , C 都发生；都不发生；不都发生 . A , B 中至少有一个发生，但 C 不发生. 解： A ； A + B + C ； Section2_4_2_1 AB + BC + AC Section2_4_3 第 2 次

11、出现正面. 只有第 2 次出现正面. 第 2 次才出现正面. 正面出现 2 次. 例3. 将一枚硬币抛掷三次，设 表示第 i 次出现 正面 ( i = 1 , 2 , 3 )，试用 表示下列事件： 解： Section2_4_4例4. 设 A , B 为两个任意事件，化简下列事件并 说明其含义： . . 解： Section3_1第三节 频率与概率 定义 在相同的条件下，进行 n 次试验，在这 n 次 一、频率 试验中，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的 频数. 比值 称为事件 A 发生的 频率 ，记作 . 频率具有以下 性质 ： ； ； 若 是两两互不相容的事件，则 Section3

12、_2定义 设试验 E 的样本空间为 ，对于 E 的任意 二、概率 一个事件 A 赋于一个实数 P (A) ，称为事件 A 的 概率 , 如果集合函数 P ( ) 满足以下 三条公理 ： 非负性：对于任意事件 A ，有 P (A) 0 ； 规范性：对于必然事件 ，有 P () = 1 ； 可列可加性：对任意两两互不相容的事件列： ，有 Section3_3三、概率的基本性质 对于不可能事件 ，有 P ( ) = 0 ； 设 A , B 是两个事件，若 A B ，则有 的事件，则有 有限可加性：若 是两两互不相容 对于任一事件 A ，有 . 注意：由 P(A) = 0 不能推出 A 是不可能事件.

13、 Section3_3_1 加法公式：对于任意两事件 A , B 有 求逆公式：对于任一事件 A , 有 减法公式：对于任意两事件 A , B 有 Section3_3_2 直和公式：对于任意两事件 A , B 有 Section4_1第四节 等可能概型（古典概型） 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果 E 满足： 有限性： 只包含有限个基本事件. 则称试验 E 为 等可能概型 或 古典概型 . 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同. 对于古典概型，事件 A 的概率为： A 包含的基本事件数 中的基本事件总数 P ( A ) = Section4_2例1. 将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概

14、率： 恰好有一次出现正面. 恰好有二次出现正面. 至少有一次出现正面. 解： = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT Section4_31. 加法原理 假设完成一件事情有 n 种不同的方式，而第 i 种 排列组合的基本知识 方式又有 种不同的方法 ，则完成 这件事情共有 种不同的方法. 2. 乘法原理 假设完成一件事情必须经过 n 个不同的步骤，而 第 i 个步骤又有 种不同的方法 ，则 完成这件事情共有 种不同的方法. Section4_3_13. 排列 不允许重复的排列：从 N 个 不同 的元素中任 允许重复的排列：从 N 个不同的元素中有放回 取 m (m N ) 个进行排列，排列数为 地任取 m 个进行排列，排列数为 . 4. 组合 不允许重复的组合：从 N 个 不同 的元素中任取 m (m N ) 个进行组合，组合数为 Section4_4例1. （取球模型） 设一袋中装有 4 个红球，5 个白球. 现按下列三种