《高等代数第二版课件§3[1].4_矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数第二版课件§3[1].4_矩阵的秩（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 矩阵的秩第三章 线性方程组上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。 定义15 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。例3.4.1 求矩阵的行秩和列秩。解：A的行向量组是：其极大线性无关组是：故A的行秩为3。 又A的列向量为第三章 线性方程组则列向量组的极大线性无关组为故A的列秩也是3。 问：矩阵A的行秩是否等于列秩？为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方
2、程组（3.4.1）的系数矩阵的行秩rn，那么它有非零解。第三章 线性方程组证明：用表示矩阵A的行向量。由于其秩为r， 故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组与 是等价的，故原方程组与（3.4.2）是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的 个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。是它的以下方程组定理4 矩阵的行秩与列秩相等。第三章 线性方程组证明：设所讨论的矩阵为而A的行秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证，再证）。 用 表示矩阵A的行向量组
3、，由于行秩为r，不妨设 是它的一个极大线性无关组。因为线性无关， 故方程组只有零解。此即齐次线性方程组只有零解。第三章 线性方程组由引理知，这个方程组的系数矩阵的行秩因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量， 不妨设向量组由上一节的性质5知，其延长向量组：线性无关。第三章 线性方程组也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩 同理可证：，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。定理5矩阵的行列式为零的充要条件是A的秩小于n。 证：充分性显然： 设A的秩=rn。用表示A的列向量组。不妨设
4、 是列向量组的极大无关组。第三章 线性方程组设 考虑A的行列式必要性： 若 ，我们对n用归纳法证明。 当n=1时，由知A仅有一个元素就是0，故A的秩为01。 假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全 为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这 n个元素有一个不为0，不妨设，则从第二列直到n列分别加上第一列的倍数第三章 线性方程组这样，在把消为零的过程中，行列式化为其中由于，故n-1阶矩阵由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组 也线性相关，即存在不全为零的数，使第三章 线性方程组整理得因此线性相关，它的秩小于n。推论：
5、 齐次线性方程组，有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式为0。结论的必要性由Cramer法则立得，结论的充分性是定理5 的推论。 再考虑一般矩阵的秩与行列式的关系。第三章 线性方程组定义16 在一个矩阵A中任意选定k行，k列， 。位于这些选定的行和列的交叉位置上的 个元素按照原来的顺序所组成的k级行列式，称为A的一 个k级子式。 定理6 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r 级子式不为零，而所有的r+1级子式全为零。 证明：必要性：设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性 相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵A的任意r+
6、1级 子式的行向量也线性相关。由定理5知，这种子式全为零，下证 A中至少有一个r级子式不为零。第三章 线性方程组设 ，秩A=r。A中极大无关组的个数为r，不妨设这r个向量正是前r个行向量（不然，可以调换行向量的 位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个 向量取出来，作成新的矩阵矩阵的行秩为r。因而其列秩也为r，即的列向量组的极大无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而第三章 线性方程组。它是矩阵A的一个r阶子式。充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的 r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知，A
7、中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零， 因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个 r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个。由定理5知这r个行组成的向量组线性第三章 线性方程组向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。 如何求矩阵的秩？例3.4.2 求的秩解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何 四阶子式均为0，故秩，现找到一个三阶子式，故知A的秩为3。从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利 用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。定理7 初等变换不改变矩阵的秩。第三章 线性方程组例3.4.3 求矩阵的秩。解：故秩A=3。第三章 线性方程组定理8 秩为r的矩阵A可通过初等变换化为如下标准形：第三章 线性方程组作业nP156n18(1)(5)
