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1、P问题NP问题NPC问题NP难问题详解ContentsP问题1NP问题2NPC问题3NP难问题4 时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多 少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间 长度增长得有多快。 不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多 的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度 ，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的 时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就 是O(n)。时间复杂度时间复杂度多项式级的复杂 度 。 如 O(1), O(log(n),O(na) 等 因为它的 规模n出现在底 数的位置 ！时间复杂度非多项式级的 如：O(an)和 O(n!)等！
2、 P问题是可以在多项式时间内被确定机(通常意义的计算 机)解决的问题. 如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它 的算法，那么这个问题就属于P问题。 我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。 P问题 VS NP问题 ？P (Polynomial,多项式)问题NP(Non-Deterministic Polynomial, 非 确定多项式)问题 首先：NP问题不是非P类问题 ！ NP问题,是指可以在多项式时间内被非确定机(他可以猜,他总是能猜到最能满足 你需要的那种选择,如果你让他解决n皇后问题,他只要猜n次就能完成-每次都 是那么幸运)解决的问题.这里有一个著名的问题-千禧难题之首,
3、是说P问题是 否等于NP问题,也即是否所有在非确定机上多项式可解的问题都能在确定机上 用多项式时间求解. NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题，即可以在多项式的时间 里猜出一个解的问题。 像Hamilton回路问题。 在这个题中，找一个解很困难，但验证一个解很容易。 当然有不是NP问题的问题，即咱猜到了解但是没用，因为咱不能在多项式的时 间里去验证它。 如下面这个：我们已经知道Hamilton回路是NP问题，因为验证一条路是否恰好经过了每 一个顶点非常容易。但我们把问题换成这样：试问一个图中是否不存在 Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了，因为除非你试 过
4、所有的路，否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”。已经知道所有的P类问题都是NP问题。 那反之呢？其实就一句话：证明或 推翻P=NP 这就是所谓的“NP问题”！P问题与NP问题的对比换一种说法,如果一个问题的复杂度是该问题的一个实例规模n的多项式 函数，则这种可以在多项式时间内解决的问题属于P类问题.通俗地称所有复 杂度为多项式时间的问题为易解的问题类，否则为难解的问题。有些问题很难找到多项式时间的算法（或许根本不存在），例如“找出 无向图中哈密顿回路”问题。但如果给了该问题的一个答案，可以在多项式 时间内判断这个答案是否正确。例如说对于哈密顿回路问题，给一个任意的 回路，很容易判断它是
5、否是哈密顿回路（只要看是不是所有的顶点都在回路 中就可以了）。这里给出NP问题的另一个定义,这种可以在多项式时间内验 证一个解是否正确的问题称为NP问题，亦称为验证问题类。简单的说，存在多项式时间的算法的一类问题，称之为P类问题；而像 梵塔问题，推销员旅行问题等问题，至今没有找到多项式时间算法解的一类 问题，称之为NP问题。同时，P类问题是NP问题的一个子集。NP完全（ NP Complete,NPC ）问题NPC问题（一） 人们普遍认为，P=NP不成立。那么多数人相信，存在至少一个不可能有 多项式级复杂度的算法的NP问题这就是NPC问题。 NPC问题是指这样一类NP问题,所有的NP问题都可以
6、用多项式时间划归到 他们中的一个.所以显然NP完全的问题具有如下性质:它可以在多项式时 间内求解，当且仅当所有的其他的NP完全问题也可以在多项式时间内 求解。这样一来,只要我们找到一个NPC问题的多项式解,所有的NP问题都 可以多项式时间内划归成这个NPC问题,再用多项式时间解决,这样NP就等 于P了. Reducibility(“约化”或“归约”)：一个问题A可以约化为问题B的含义即是 ，可以用解决问题B的解法来解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问 题B。 如：一元一次方程可以“归约”为一元二次方程。 问题A可“约化”为问题B直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的时间 复杂度。也就是说
7、，问题A不比问题B难。 很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题A可约化 为问题B，问题B可约化为问题C，则问题A一定可约化为问题C。 现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了：如果能 找到这样一个变化法则，对任意一个程序A的输入，都能 按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同， 那么我们说，问题A可约化为问题B。 注：我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化 (Polynomial-time Reducible)，即变换输入的方法是能在 多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时 间完成才有意义。NPC问题（二）NPC问题（三）NPC问题p问题 P问题NP问
8、题p问题约化约化总结： 定义：同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。 首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都 可以约化到它。 证明：先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一 个已知的NPC问题能约化到它 NPC问题（四） NP-Hard问题：其满足NPC问题定义的第二条但不一定要 满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围 广，但不一定是NP问题）。 NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我 们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使NPC问题 发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得 到多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard
9、放宽了限定条 件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而 更难以解决。NP-Hard问题？NPC问题（补充）NPC问题存在吗? 逻辑电路问题: 给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使 输出为True。 这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约 化而来的。因此，逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。 我们知道，一个逻辑电路由若干个输入，一个输出，若干 “逻辑门”和密密麻麻的线组成，如下图： NPC问题（补充） 有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路 吗？ NPC问题（补充） 逻辑电路问题属于NPC问题它显然属于NP问题 ，并且可以证明所有的NP问题都可以约化到它 。NPC问题（补充）其大概意思是说任意一个NP问题的 输入和输出都可以转换成逻辑电路 的输入和输出（想想计算机内部也 不过是一些 0和1的运算），因此对 于一个NP问题来说，问题转化为了 求出满足结果为True的一个 输 入（即一个可行解）。
