连续信号的分析

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1、 第一章 连续信号的分析连续的确定性信号是用时域上连续的确定性函数描 述的信号，是一类描述和分析最简单的信号，同时又是 其它信号分析的基础。本章着重讨论这种信号的分析方法，包括时域分 析、频域分析及复频域分析。第一节 连续信号的时域描述和分析信号的时域描述和分析是一种最基本的方法，这种方法 比较直观、简便，物理概念强，易于理解。一、连续信号的时域描述 用一个时间函数或一条曲线来表示信号随时间而变化的 特性称为信号的时域描述。讨论基本信号的时域描述有着更重要的意义。通常基 本信号可以分为普通信号和奇异信号两类。下面分别 对它们进行描述。(一)普通信号的时域描述 1正弦信号一个正弦信号可表示为式中

2、，A为振幅；0为角频率(rads)；为初相角(rad)， 如图1-1所示。 正弦信号是周期信号，其周期为余弦信号与正弦信号只是在相位上相差2见(式1-1)， 所以通常也把它归属为正弦信号。-0的情况表示了x(t)随时间按指数增长， 信号的衰减或增长速度可以用实指数信号的时间常数表示，它 是 的倒数，即图1-2分别表示了直流信号和实指数信号 。如果 0， 0，则x(t)=Ae tej t 即为复指数信号， s=+j称为复指数信号的 复频率。（1-3）原子弹爆炸 ，化学连锁 反应放射性的衰变，RC电 路或有阻尼的机械振 动响应按欧拉(Euler)公式，复指数信号可以写成可以分解为实部和虚部两个部分

3、分别为余弦和正弦信号，Ae t反映了它们振荡幅度的 变化情况，即它们的包络线。（1-5）（1-6 ）（1-4）图1-3表示了 0 u（t）=0 t1 时，原信号x(t)沿横坐标轴压缩了，而信号的幅度都保持不变。一般地说，时间尺寸变换会改变信号的基本特征，信号的频 谱发生了变化。例如，若x(t)表示录音带的正常速度放音信号；x(2t)表示两倍于正 常速度放音信号，放出的声音比原信号尖锐刺耳；而x(t2)表示 放慢一倍于正常速度放音的信号，放出的声音较为低沉。声音声 调的变化正是由于信号的频率特性变化引起的。由此也可以感受 到，信号的频率特性与幅度不同，它是信号的基本特征。2翻转 将信号以纵坐标轴

4、为中心进行对称映射，就实行了信号的翻转。 因此，也可表示为用变量-t替代原信号的自变量t而得到的信号x(-t)， 即x(at)在a=-1时的情况。图1-9表示了信号翻转的情况。3平移平移也称为时移，对于信号x(t)，考虑大于零的常数t。， 则得平移信号x (t-to)或x(t+to)。其中x(t-t。)表示t=t。时刻的值 等于原信号t=0时刻的值，即将原信号沿时间轴的正方向平移 了to，是原信号的延时。同理x(t+to)将原信号沿时间轴的反方 向平移了to，是原信号的导前。图1-10表示了信号的平移。将单位冲激信号(t)平移to，得到延时冲激信号(t-to)，它 是出现在t=to时刻的冲激信

5、号，即表明冲激函数在任意时刻都具有取样特性，可以根据需要 设计冲激函数序列，来获得连续信号的一系列取样值。（t-t0）=0 tt0（1-19）故有综合变换以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的 信号函数f(at+b)。当a时，它是f(t)沿时间轴展缩 、平移后的信号波形；当a时，它是f(t)沿时间轴 展缩、平移和反转后的信号波形，下面举例说明其变 换过程。例：已知信号f(t)的波形如图所示，试画出信号f(-2-t) 的波形。解 f(t)f(-2-t)=f(-(t+2)可分解为 f(t) f(-(t) f(-(t+2) t-t tt+2 反转 平移 信号的反转、平移 信号的反转、展

6、缩与平移通过以上分析，可以归纳出普通信号基本变换的一般 步骤： (1)、若信号f(t)f(at+b)，则先反转，后展缩，再平移； (2)、若信号f(mt+n)f(t)，则先平移，后展缩，再反转 ； (3)、若信号f(mt+n)f(at+b)，则先实现f(mt+n)f(t)， 再进行f(t)f(at+b)。牢记：上述各种运算都是对独立变量t而言的 。举例1-2、3说明应用。（补充：如何利用上述变换画波形图） 作业 1-1 应用冲激函数的重要性质求下列表达式的值 （即求下列积分值）。作业 1-2 已知f(t)的波形如图所示，试画 出f1(t)=f (2-t)，f2(t)=f(-2t-3)的波形图

7、。 1-3 已知y(t)=f(1-2t)且y(t)的波形如图 所示，试画出f(t)的波形图。1-101 2 3xf(t)题1-2图1-1012xf(1-2t)=y(t)题1-3图教材习题1应用冲激信号的抽样特性，求下列各表达式的函数值。2绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。3连续时间信号x1（t）和x2（t）)如题图1-1所示，试画出下列 信号的波形。4已知x(t)如题图1-2所示，试画出y1(t)和y2(t)的波形。5 已知连续时间信号xl(t)如题图1-3所示，试画出下列各信号 的波形图。 （1）x1（t-2）（2）x1（1-t）（3）x1（2t+2）6根据题图1-4所示的信号x2

8、(t)，试画出下列各信号的波形图。（1）x2（t+3）（3）x2（1-2t）(二)叠加和相乘两个信号x1(t)和x2(t)相叠加，其瞬时值为两个信号在该瞬时 的值的代数和， 即x(t)=x1(t)+x2(t)。两个信号x1(t)和x2(t)相乘，其瞬时值为两个信号在该瞬时的值 的乘积，即x(t)=xl(t)x2(t)。 图1-15分别表示了两个信号的叠加和相乘的结果。同理，不难 得到两个信号相减的差和相除的商。(三)微分和积分在奇异信号中，单位阶跃信号为单位斜坡信号的微分(式(1-12)， 单位冲激信号为单位阶跃信号的微分(式(1-18)。还可以定义单 位冲激信号的微分(即单位冲激偶函数)信号

9、的微分是指取信号对时间的一阶导数，表示为信号的微分表示了信号的变化率，要求该信号满足可微条件。（1-20）它可视为幅度为1，脉宽为的矩形脉冲求导后趋于零的极 限。显然，它是位于t=0处强度分别为+和- 的一对冲激函 数，故称为单位冲激偶函数，如图1-16所示。单位冲激偶函数是奇函数，即这可由（t）的定义直接得到。此外，单位冲激偶函数也有 筛选特性（1-21）（1-22）信号的积分是指信号x（t）在区间（-，t）内积分得到的信号 ，即图1-17表示了信号的积分。-/2/2ty（t）0-/2/2tx（t）01图1-17 信号的积分三、信号的分解 为了便于信号的分析，常把复杂信号分解成一些简单信号或

10、基 本信号。例如可以把一个平均值不为零的信号分解为直流分量 和交流分量；还可以把任一信号分解为偶分量和奇分量等等。 这里介绍两种在信号分析和处理中常用的分解。任意信号x（t）可以近似地用一系列等宽度的矩形脉冲之和表示， 如图1-18所示。如果矩形脉冲的宽度为t，则从零时刻起的第k+1 个矩形脉冲可表示为x（t）近似地表示为（1-23）（一）分解成冲激函数之和的方法当 t 0的极限情况下， td，k t，而式（1-23）就变为（1-24）式(1-24)的右边称为卷积积分，简称卷积，它是将信号进行翻 转、位移、相乘、积分等一系列的运算过程，通常用符号 x（t)*(t)来表示x(t)与(t)的卷积运

11、算，即式(1-24)表明，任意信号x(t)可以用经平移的无穷多个单位冲 激函数加权后的连续和(积分)表示，换言之，任意信号x(t)可 以分解为一系列具有不同强度的冲激函数。（1-25）对于两个连续时间信号xl(t)、x2(t)，同样可以定义它们的卷积显然卷积积分在信号处理及其它许多 科学领域具有十分重要的作用， 它的图解方法能直观地说明其真 实含义，有助于对卷积积分概念 的理解。（1-26）卷积积分是求解线性时不变系统 的零状态响应的最基本方法，必 须很好地掌握其定义、性质和计 算方法。卷积积分的基本公式卷积的基本性质（1）时移性质：（2）分配律：（3）结合律：（4）交换律：（5）积分性质：（

12、6）微分性质：（7）微分积分性质：含有冲激函数的卷积卷积的计算方法（1）查表法：直接利用基本函数的卷积积分公式来求卷积。（2）解析法：用函数式计算卷积，由于许多函数是时限的，所以正确选取积 分上、下限就成为计算正确与否的关键，也是学习卷积积分的难点。（3）图解法：借助图解可使卷积积分变得直观，且很容易确定积分上、 下限。图解法的步骤是：翻转、平移、相乘、积分。 （4）利用卷积积分性质计算卷积：此法可以融汇在上述的基本解法中。（5）数值计算法法：这是卷积积分的计算机求解方法，应掌握它的基本 原理，并会借助相应软件用计算机实现求解。例1-5 求下列卷积积分。例1-4 P19利用解析法求卷积积分。(

13、 同学们自己看)例1-6 f1(t)、f2(t)的波形如图所示。设 ， 求y(4)。f1(t)t012f2(t)t012-24此题可以用图解法很方便的求出某一时刻y(t)的值。 信号的正交分解 数学上给定条件下的函数可展开为 由某种基本函数形式所构成的一组多项 式，例如函数的泰勒级数展开式。信号 是随时间变化的函数，在一定条件下也 可展开成这样一组多项式。这就是信号 的分解，用式（132）描述：(i,n为整数) （132a）（二）正交分解（正交变换）同学们以自学为主。 当上述函数集中任意两个函数i(t),j(t)之间,在区 间（t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间（t1，t2)内的正交函数

14、集 。 例如,三角函数集 1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt, 在区间（t0，t0+）(式中T=2/)组成正交 函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为（ki为与之有关的常量） (132b)(134) 即三角函数集满足正交性式（132）,因而 是正交函数集。其完备性这里不去讨论。 对于调幅信号（=5） f(t)=A(1+Bcos)cos 利用三角公式2coscos=cos(- )+cos(+)可写为 f(t)=Acost+ ABcos(-)t+ ABcos(+)t 上式即是信号f(t)在三角函数集上的正交分 解。图1-21中绘出了有关信号的波形。图1-21

15、调幅信号及其频谱对信号时域分解和卷积积分的总结：1、信号的时域分解任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和，即任意波形信号可以分解为无限多个连续的加权阶跃信号之和，即任意波形信号可以分解为偶分量和奇分量之和，即2、零状态响应卷积积分 系统在任意波形x（t）激励下的零状态响应y（t）可由x（t）与系统 的冲激响应h（t）卷积得到，即上式为卷积积分的一般公式，当x（t）与h（t）受到限制时，可进 一步缩小积分上下限。特别地，当x（t）=f1（t）u（t-t1），h（t）=f2（t）u（t-t2），则当被卷积函数可表示为分段函数时，可用上式计算卷积，称为公 式法。作业 1-4 求下列函数f1(t)与f2(t)的卷积。 1-5 画出下列时间信号的波形图，并注意他们 的区别。7根据题图1-3和题图1-4所示的x1(t)和x2(t)，试画出下列各信 号的波形图。（1）x1（t