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1、典型轴对称问题解法：（1）圆环或圆筒受均布压力边界条件 ：位移单值条件B=0（2）压力隧洞rrRRr六个条件位移单值条件光滑接触边界条件第四章 平面问题的极坐标解答工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。本节研究小孔口问题，应符合:（1）孔口尺寸弹性体尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。48 圆孔的孔口应力集中第四章 平面问题的极坐标解答当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。第四章 平面问题的极坐标解答1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。将外边界改造成为圆边界，作圆 则圆边界上点的应力与无孔时相 同，即
2、A的直角坐标应力：由直角坐标到极坐标的转换 公式，得A点的极坐标应力第四章 平面问题的极坐标解答yxjrq令q1=0, q2= -q，且取 r/R=0有问题简化为：第四章 平面问题的极坐标解答2. 左右受q拉，上下受q压 对三角形单元体有由公式(4-7)，有A点(圆周)的应 力(边界条件)应力分量推测第四章 平面问题的极坐标解答将函数带入相容方程可得 ：即：做Euler变换：第四章 平面问题的极坐标解答写出特征方程一实根r对应解的一项： 一对相等的实根r对应解的两项： 一对共轭复根 对应解的两项： 第四章 平面问题的极坐标解答得应力分量：代入得应力函数代入(4-5)第四章 平面问题的极坐标解答
3、求得系数边界条件：第四章 平面问题的极坐标解答将A、B、C、D带入式，得:(418)3. 左右受q1拉，上下受q2拉 第四章 平面问题的极坐标解答第四章 平面问题的极坐标解答特例：单向受拉板（长柱体）令q1=q, q2= 0 基尔斯（G. Kirsch ）解第四章 平面问题的极坐标解答讨论：（1）孔边应力，最大应力 3q ，最小应力-q。第四章 平面问题的极坐标解答（2) y 轴 上应力，可见，距孔边1.5D处 ， 由于孔口引起的应力扰动远处的应力，孔口附近应力无孔时的应力。（2）局部性应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应 力扰动，一般5%。第四章 平面问题的极坐
4、标解答（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。因此，工程上应尽量避免 接近直角的凹角出现。如正方孔 的角点，角点曲率半径第四章 平面问题的极坐标解答5.一般小孔口问题的分析：45相应于孔中心的应力45孔附近应力附近应力 主应力第四章 平面问题的极坐标解答任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处 有一小孔，只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力（1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 。（2）求出孔心处主应力（3）在远处的均匀应力场 作用下，求出孔口附近的应力。注：以上近似方法虽然并非严格的力学推导，但实验证实是 可行的。第四章 平面问题的极坐标解答例：在薄板内距边界较远的
5、某一点处，应力分量sx=sy=0, txy=q, 如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：第四章 平面问题的极坐标解答由4-18式:孔边只有环向正应力第四章 平面问题的极坐标解答在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量 sx=sy=txy=q, 如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：第四章 平面问题的极坐标解答由基尔斯（G. Kirsch）解答得：孔边只有环向正应力第四章 平面问题的极坐标解答4-9 半平面体在边界上受集中力1. 应力函数和应力采用半逆解法如图所示，无限大半平面体， 在其边界上受集中力F
6、（实际 为沿厚度方向的分布力，单位 是N/m，量纲为MT-2）。求其 应力和位移。用量纲分析法，由于F的量纲为MT -2，应力的量纲为L-1MT -2， r为长度量纲, b、 j无量纲，因此应力可能取为F/r乘以j 的某一 函数的形式。 Fxyo第四章 平面问题的极坐标解答代入相容方程： 解得：第四章 平面问题的极坐标解答由于 不影响应力，可以略去。 所以取： 对应的应力为：第四章 平面问题的极坐标解答应力边界条件为：xbFy显然满足。 第四章 平面问题的极坐标解答xbFy由圣维南原理，在原点 附近应有：应力的合力 等于F。 为此如图绕P点作任意 小半径r的半圆，则： 第四章 平面问题的极坐标
7、解答由此解得： 应力分量得解答为： 第四章 平面问题的极坐标解答利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得（4-23）或将其改为直角坐标 表示，有（4-24）第四章 平面问题的极坐标解答代入物理方程： 当F垂直作用时：2. 竖直力作用下的位移FxyO第四章 平面问题的极坐标解答再代入几何方程：(a )(b )(c )第四章 平面问题的极坐标解答积分式（a）得，(d )将式（d）代入式（b），有积分上式，得(e )第四章 平面问题的极坐标解答将式（d）(e) 代入式（c） 得，(d )(e )(c )第四章 平面问题的极坐标解答要使上式成立，须有：以上方程求解参见4-5第四章 平面问题的极坐标解答可解得：第四章 平面问题的极坐标解答由于问题的对称性，所以有： 可得： 即H=K=0所以位移解答为：其中的I无法再由边界条件确定，它实际上代表 的是物体的刚体位移。FxyO第四章 平面问题的极坐标解答3. 边界沉陷计算FxyOr M任意M点的下沉量：Bs由于常数 I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此 ，在边界上取一基准点B，如图所示。M点相对于基准点B 的沉陷为:第四章 平面问题的极坐标解答简化后得：（4-25 ）符拉芒（A. Flamant）公式对平面应变情形：第四章 平面问题的极坐标解答作业 4-8 4-18
