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1、1四年级四年级数列数列教师版教师版知识要点知识要点1、按照一定次序排列的一列数叫数列。、按照一定次序排列的一列数叫数列。 2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 项（或首项）项（或首项） 、第、第项、第项、第12 项、项、第、第项、项、3n 3、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 项数无穷的数列叫做无穷数列。项数无穷的数列叫做无穷数列。4、（为正整数）为正整数）(1)123(1)2nnnnn（为正整数）为正整
2、数） 222211231216nnnnn5、如果一个数列，从第、如果一个数列，从第项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数2 列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示。表示。d 等差数列求和公式：和等差数列求和公式：和（首项（首项末项）末项）项数项数。2 6、如果一个数列，从第、如果一个数列，从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数2列，这个常数叫做等比数列的公比，公比
3、通常用列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示表示。q0q （或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。 ） 一般地，等比数列求和采用一般地，等比数列求和采用“错位相减法错位相减法” 。 （公比不为（公比不为 ）1一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 一 一 一一 一一 一 一一 一 一 一 一一 一 一 一一 一 一一 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一2传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏 ，陛下，只要你在我的棋盘上赏一
4、些麦子就行了。在棋盘的第 个格子里放 粒，11在第个格子里放粒，在第个格子里放粒，在第个格子里放粒，依此类推，以后223448每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到放满第个格子就行264了”。区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放 粒，第二格内放粒第三格内放粒，还没122有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。原来，所需麦粒总数为：642118446744073709551615 这些麦子究竟有多少
5、？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高公尺，宽4 公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的麦子，全世10 界要两千年。尽管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来， 国王就欠了西塔好大一笔债。等差数列等差数列 【例例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指 明公差；如果不是，请说明理由。如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请明公差；如果不是，请说明理由。如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请 说明理由。说明理由。 数列一：数列一：
6、、；711151923 数列二：数列二： 、 、 、；121234599100 数列三：数列三： 、；1248163264 数列四：数列四：、；261854162 数列五：数列五：、；2009200920092009200920092009 数列六：数列六： 、 、 、 、 ；101010101 数列七：数列七：、000【分析】数列一是等差数列，公差为；因为，所以不是等比数列。41115 7113数列二不是等差数列；不是等比数列。因为，即；所以数列二不是等差数列；因为，所2112 2132aaaa21 12以不是等比数列。 数列三不是等差数列，数列三是等比数列，公比为。2因为，即；所以数列三不
7、是等差数列；2142 2132aaaa因为，所以数列三是等比数列。212 422842 数列四是等比数列，公比为 ；因为，所以不是等差数列。362186 数列五是等差数列，公差为；还是等比数列，公比为 。01 数列六不是等差数列；也不是等比数列。因为，即；所以数列六不是等差数列；也不是等比数0110 2132aaaa列。 数列七是等差数列，公差为。不是等比数列，因为等比数列的每一项都不能为0 。0【例例 2】 下图所示的表中有下图所示的表中有个数，那么它们的和加上多少才等于个数，那么它们的和加上多少才等于？55199417131925313743495561 28142026323844505
8、662 39152127333945515763 410162228344046525864 511 172329354147535965【分析】 （方法一）需先求出所给数列的和，然后看和差多少。1994故可以先交给学生让大家用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。（方法二）利用等差数列和中间数个数 第列作为中间项，求和再乘以项数：6(3132333435) 111815第 行为中间数列求和再乘以项数：3 (39152127333945515763)51815因此所求的和是 19941815179【例例 3】 在在这这个自然数中，所有能被个自然数中，所有能被整
9、除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？11001009 【分析】在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、110010099 、，18279899(999) (999)919182798995942即在这个自然数中，所有能被整除的自然数的和为。110010095944【例例 4】 在不大于在不大于自然数中，所有不能被自然数中，所有不能被整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？1009 【分析】在不大于的自然书中，能被整除的自然数依次为、1009091827 、，9899(099) (990)9109182798995942 (0100) (1000)1 1012398991005
10、0502 所以在不大于的自然数中，所有能被整除的自然数的和为。100950505944456【例例 5】 在在这这个自然数中，所有能被个自然数中，所有能被整除或被整除或被整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？1 200200411 【分析】在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、1 20020044812 、，196200(4200) (2004)41481219620051002 在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、1 20020011112233 、，187198(11 198) (19811)11 111223318719818812 在这个自然数中，既能被整除又能被整除的
11、自然数，1 200200411即能被整除的自然数依次为、，4,11444488132176(44176) (17644)44144881321764402在这个自然数中，所有能被整除或能被整除的自然数的和为1 200200411 。510018814406541【例例 6】 （第七届小学（第七届小学“祖冲之杯祖冲之杯”数学邀请赛第一（数学邀请赛第一（ ）题）七个连续的自然数，最大）题）七个连续的自然数，最大1 的两个数的和比最小的数大的两个数的和比最小的数大，那么中间的那个数是，那么中间的那个数是。1997_【分析】最大的数比最小的数大，(71) 16 所以第大的数（从小到大第数）为；2619
12、9761991所以中间数（从小到大第数）为；41991(64) 11989 或第大的数比最小的数大，2(61) 15 所以最大的数（从小到大第数）为；7199751992所以中间数（从小到大第数）为41992(74) 11989 【例例 7】 计算：计算：。13467910121366676970_【分析】 （方法一）13467910121366676970 (147106770)(369126669)5(170) (701)31(369) (693)31852828168022（方法二）13467910121366676970 (123456789656667686970)(2586568)
13、(170) (701)1 1(268) (682)312485805168022 【例例 8】 如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第 层；第层；第层每边有层每边有个个122 点（相邻两边公用一个点）点（相邻两边公用一个点） ；第；第层每边有层每边有 个点；个点；这个六边形点阵共有；这个六边形点阵共有33 层。请问第层。请问第层有多少个点？这个点阵共有多少个点？层有多少个点？这个点阵共有多少个点？20102010【分析】第 层有 个点、第层有个点、第层有个点、1121 6326 第层有个点。20102009612054 这个点阵共有
14、1 1 62620096 个点。1200920091(122009)616121142712 一一【例例 9】 如图所示，如图所示， 条直线将条直线将 个平面分成个平面分成部分，部分，条直线最多将条直线最多将 个平面分成个平面分成部分，部分，112214 条直线最多将条直线最多将 个平面分成个平面分成部分，部分，条直线最多将条直线最多将 个平面分成几部分？那么个平面分成几部分？那么31741 条直线最多将条直线最多将 个平面分成多少部分？个平面分成多少部分？51 【分析】如果有 条直线，再增加 条直线，这条新增加的直线与前 条直线至多有 个交3133 点； 所以这条新增加的直线至多能被分成段；314 因为每段直线将原有的部分分成个部分；2 所以至多能增加个部分。条直线最多将 个平面分成部分。213 417411 如果有条直线，再增加 条直线，这条新增加的直线与前条直线至多有个交4144 点； 所以这条新增加的直线至多能被分成段；415 因为每段直线将原有的部分分成个部分；所以至多能增加个部分。2415 那么条直线最多将 个平面分成部分。 （下图中圆代表一个平面）51115166【例例 10】如图所示，如图所示， 条直线将条直线将 个平
