20141晶格振动的经典理论

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1、 一. 简谐晶体的经典运动。 1.简谐近似 2. 一维单原子链，声学支 3.一维双原子链，光学支 4. 三维情形 二. 简谐晶体的量子理论。 1. 简正坐标 2. 声子 3.晶格热容 4.声子态密度（晶格振动模式密度） 三. 晶格振动谱的实验测定中子的非弹性散射 。 四. 非简谐效应。 1. 热膨胀 2. 晶格热导率晶 格 振 动 与 晶 体 的 热 学 性 质晶格振动认识的历史：静止晶格模型振动形成“格波”声子晶格热容认识的历史：杜隆珀替经验规律爱因斯坦模型德拜模型实验验证固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，

2、我们讨论了X 光衍射 发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计 算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子 构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固 定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量 范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了 晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如 ：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电 导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变 ，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初

3、才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶

4、格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的晶格动力学一书已成为该领域公认的权威著作。黄昆院士简介: （摘录）1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学 物理系学习，获哲学博士学位；发表稀固溶体的X 光漫散射论文，理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极 化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声 子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著晶格动力学 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛津 出版社，1954年）。

5、（2006年中文版）我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“ 极化激元”概念的最早阐述者 。4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的晶格振动二. 一维双原子链的晶格振动三. 三维晶体中原子的振动四. 态密度函数五. 近似条件与使用范围晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶 格振动的基本特点。研究固体中原子的

6、振动时的两个假设: （1）每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格 点上. （2）原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以 用简谐近似.在简谐近似下,晶体中原子振动有精确解,大部 分符合实验.一. 一维单原子链的振动运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n 为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 ）后势能发生变化是V(a+) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，

7、可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第 二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中 的二阶项（2项项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这 只适用于微振动，即值值很小的情况。此时，恢复力：称为恢复力常数 相当于把相邻原子间的相互作用力看 作是正比于相对位移的弹性恢复力。如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线 性齐次方程。 方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：A是振幅，是角频率，q 是波数，是波长，naq 是第n 个原子

8、的位相因子，将试解代入方程求解。这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原 子都同时以相同的频率和相同的振幅 A 在振动，但不同的 原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 。该结果还表示：只要和q 满足上述关系，试解就是联立方程 的解。通常把和 q 的关系称作色散关系。解得 色散关系 Dispersion curves（利用欧拉公式）解的物理意义： 格波原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 的 整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。都是整数）。如：有：该解表明：晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，

9、但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位 置这样的孤立值。第一布里渊区里的色散关系： 分离原子集体振动形成的格 波与连续介质中的弹性波相比，色 散关系发生了变化，偏离了线性关 系，而且具有周期性和反射对称性 从解的表达式中可以看出：把 aq 改变 2的整数倍后，所 有原子的振动实际 上没有任何区别，因此有物理意义的 q 取 值值范围围可以限制在第一布里渊区内。这种性质称作格波的简约性。 一维单原子链的倒格矢：在波矢空间这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一 种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即

10、可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。参考黄昆书 p85 图由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息， 为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。见Kittel P70 图周期性边界条件（BornKarman 边界条件）上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界 条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结 果呢？ BornKarman 最早利用周期性边界条件解决了此问题 ，成为固体理论的一个典范。所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长 晶体链的一个重复单元，即：n =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取值 数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数

11、值。周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定 的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。引入周期性边界条件后，波数 q 不能任意取值，只能取分立的值。在 q 轴上，相邻两个 q 的取值相距 ，即在 q 轴上，每一个 q 的取值所占的空间为：所以，q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）：LNa 为晶体链的长度。第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：晶格振动格波的总数 =N1= 晶体链的总自由度数。至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。波矢取值一维：/a m）等距相间 排列的一维双原子链，设晶格常数为 2a，平衡时相邻两原子 的间距为a

12、，原子间的力常数为 。在 t 时刻，两种原子的位移分别为： 若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：试解：代入方程得：有解条件是久期方程为零：解得:解的三种表达式是等价的，下面讨论时可任选其一。一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是 q 的周期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q 取值范围也在第一布里渊区（ ）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是称约化质量。一维双原子 链晶体可作带 通滤波器图中带隙一维单原子链2a为原胞尺寸零点和布里渊边界数值的确定：利用式讨论。结果绘在上图中。两支格波的物理意义的讨论：由2式可以得到：有：这表明，在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致

13、， 振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们 将这种晶格振动称为声学波或声学支。事实上，在长波极限 下，晶格可以看成连续的弹性介质，格波类似于声波。由色散关系可以看出：由于波数被限制在第一布里渊区内，故：相邻原子的振动方向相同在长波极限是相邻原子的相对运动，振动方向相反。长波极限下质心不动，我们称作光学支。而从色散关系可以看到：由1式可以得到：相邻原子的振动方向相反长波极限下：q0称作光学支振动的说明：如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体）， 那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电 偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下 ，光波的电场可以激发这种晶格

14、振动，因此，我们称这种 振动为光学波或光学支。实际晶体的长光学波的对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够引起远红外光在 附近的强烈吸收，正是基于此性质， 支被称作光学支。 (横波情形)光学支原子 振动模型声学支原子 振动模型原胞质心的振动原胞质心保持不 变的振动，原胞 中原子之间的相 对运动。两种振动模式原子位移更细致的示意图（纵波情形）周期性边界条件周期性边界条件：n =整数， N为晶体链的原胞数。q 的分布密度：第一布里渊区内波数 q 的总数就是晶体链原胞的数目N。每个 q 值对应着两个频率，所以三. 三维晶格的振动：虽然一维晶格振动问题简单可解，但三维晶格的振动却 是一个十分

15、复杂的问题，幸好一维晶格振动解已经反映出三 维晶格振动的基本特点，因此我们可以把一维求解的方法和 结论推广到三维情况。 （见黄昆书p97-103）考虑原胞内含有n个原子的复式晶格，n个原子的质量分 别为：原胞的位置表示为：原胞中各原子的平衡位置记做：偏离平衡位置的位移：一个原胞中原子的运动方程：代表原胞中的某个原子。代表原子的三个位移分量。 作用力的表示十分复杂，因为要涉及到上下左右的近邻。 这里我们只作定性讨论，就不具体写出了。 它也是一组线性齐次方程 ，其解应和一维相同：指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式，该表达式中 是波矢，代表了传播方向。振幅也是矢量。表示各原子位移分量的振幅有区别代入方程后同样可以证明有解条件是 的一个3n次方程式 ，从而给出了3n个解：即3n支色散曲线。分析表明，其中有3支，在且原胞内n个原子的振幅趋于相同，就是说在长波极限下整个 原胞一起移动，所以这三个解类似弹性波，称声学支。另外 3n3支的解在长波极限下描述原胞内原子的相对振动，是 光学支振动。这和一维计算讨论结果是符合的。三维结果同样要使用周期性边界条件，q 同样在第一布里 渊区内取N个（原胞数）值。因此在波矢空间，每个q占据的体积是：N分之一的倒格子体积 ：即每个q 占