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1、第三讲矩阵对角化的步骤第五章 相似矩阵与二次型 1定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值, , 则A 必能相似于对角矩阵.矩阵可对角化的条件2我们先假设存在可逆矩阵 ，使将 用其列向量表示为由 得 ，即3于是 ，这说明是 的特征值， 是 的对应于特征值的特征向量。这就是 的具体构造方法.因为 可逆，所以线性无关.4n1 + n2 + + ns = n. 矩阵对角化的步骤设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的步骤如下：Step1Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特
2、征值 1 , 2 , , s ，它们的重数分别为 n1, n2 , , ns , 有5Step2 :Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0的基础解系, 设为( i = 1, 2, , s ) . 以这些向量为列构造矩阵6上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.则 P-1AP = .要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线7例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可， 则将其对角化，并写出相似变换矩阵P及对角 矩阵 。 解：8得当 时，齐次线性方程组为得基础解系当 时，齐次线性方程组为得基础解系9线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。相似变换矩阵相似对角阵10当 时，解得基础解系所以 不能化为对角矩阵.11实对称矩阵的相似对角化定理1 实对称矩阵的特征值为实数.定理2 设A为 n 阶实对称矩阵，是A的特征方 程的r 重根,则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r，从 而对应于特征值恰有 r 个线性无关的特征向量.定理3 设A为 n 阶实对称矩阵，则必有可逆阵P， 使得 P-1AP = ，其中 是以A的n 个特征值为对 角元素的对角阵.12例3 将下面实对称矩阵A相似对角化解：特征多项式1314小结：3. 若A有n个线性无关的特征向量一、矩阵对角化的步骤其中是以A的n个特征值为对角元素的对角阵 .二、实对称矩阵必可对角化15
