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1、第9章 拉普拉斯变换The Laplace Transform4. 拉普拉斯变换的性质；常用的变换对；本章基本内容1. 双边拉普拉斯变换；2. 双边拉普拉斯变换的收敛域；5. LTI系统的复频域分析；系统函数；6. 单边拉普拉斯变换；3. 由零极点图对傅里叶变换几何求值；9.0 引言 Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例 和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。通过本章及
2、下一章，会看到拉普拉斯变换和变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。9.1 拉普拉斯变换 复指数信号 是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为 ，则系统对 产生的响应是: ，其中显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。The Laplace Transform一.双边拉氏变换的定义：称为 的双边拉氏变换，其中 。 若 ， 则有:这就是 的傅里
3、叶变换。表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在 或是在 轴上的特例。由于所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。例1.在 时，积分收敛。当 时， 的傅里叶变换存在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为，包括了 （即 轴）。比较 和 ，显然有 当 时，可知例2.由以上例子，可以看出:1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收
4、敛。2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 s 的集合，称为拉氏变换的收敛域 。收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重要的概念。与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。5. 如果拉氏变换的ROC包含 轴，则有4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。二. 拉氏变换的ROC及零极点图：例3.可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，边界的位置总是与 的分母的根相对应的。若 是有理函数分子多项式的根称为零点，分母多项式
5、的根称为极点。将 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个 ，最多与真实的 相差一个常数因子 。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。9.2 拉氏变换的收敛域v可以归纳出ROC的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transforms4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 轴的直线的右边。3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。2. 在ROC内无任何极点。1. ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。若 ，则表明 也在收敛域内。若 是右边信号, , 在ROC内，则有 绝对可积，即：5. 左边信号的R
6、OC位于S平面内一条平行于 轴的直线的左边。若 是左边信号，定义于 , 在 ROC 内， ，则表明 也在收敛域内。6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内平行于 轴的带形区域。例1.其它考查零点，令例2.有极点显然 在 也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。得（k为整数）当 时，上述ROC有公共部分，当 时，上述 ROC 无公共部分，表明 不存在。当 是有理函数时，其ROC总是由 的极点分割的。ROC必然满足下列规律：3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域。2. 左边信号的ROC一定位于 最左边极点的左边。1. 右边信号的ROC一定位于 最右边极
7、点的右边。例3.可以形成三种 ROC：此时 是右边信号。此时 是左边信号。此时 是双边信号。3）ROC：2）ROC：1) ROC：The Inverse Laplace Transform一.定义：由若 在ROC内，则有:9. 3 拉普拉斯反变换当 从 时, 从由得拉氏反变换表明:可以被分解成复指数信号 的线性组合，每个复指数分量的复振幅为 。拉普拉斯反变换二.拉氏反变换的求法:对有理函数形式的 求反变换一般有两种方法,即部分分式展开法和留数法。1. 将 展开成部分分式。v 部分分式展开法：3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。2. 根据 的ROC，确定每一项的ROC
8、 。极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例1.右边信号左边信号双边信号若ROC:若ROC:若ROC:1. 求出 的全部极点。v 留数法（当 是有理函数时）：3. 求出 在 ROC 右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了 的反因果部分。2. 求出 在 ROC 左边的所有极点处的留数之和，它们构成了 的因果部分。例2.的极点 位于ROC的右边， 位于ROC的左边。v可以用零极点图表示 的特征。当ROC包括 轴时，以 代入 ，就可以得到 。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。Geometric Evaluation of th
9、e Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值1. 单零点情况：矢量 称为零点矢量，它的长度 表示 ,其幅角即为 。0零点 , 要求出 时的 ，可以作两个矢量 和 ，则 。极点直接由极点向 点作矢量（称为极点矢量），其长度的倒量为 ,幅角的负值为 。2. 单极点情况：0因此有:对有理函数形式的3. 一般情况：即：从所有零点向 点作零点矢量，从所有极点向 点作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积就反映了 。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为 。当 取为 轴上的点时，即为傅里叶变换
10、的几何求值。考查 在 轴上移动时，所有零点矢量、极点矢量的长度和幅角的变化，即可得出的幅频特性和相频特性。例1. 一阶系统：随着 ， 单调下降，时,下降到最大值的 。最大值在 时取得。幅频特性：相位特性：当 时，随着 ， 趋向于 。，则 趋向于 。例2. 二阶系统：1. 当 时， 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。 起主要作用。随着 , 两极点相向移动，向 处靠拢。2. 当 时，两极点重合于 处，成为二阶极点。系统处于临界阻尼状态。3. 进一步减小，则二阶 极点分裂为共轭复数极点，且随 的减小而逐步靠近 轴。极点运动的轨迹根轨迹是一个半径为 的圆周。此时系统处于欠阻尼状态，随着 ，位于第
11、2象限的极点矢量比第3 象限的极点矢量更短，因此它对系统特性的影响较大（被称为主极点）。当 时，由于该极点矢量变得很短，因而 会使 出现峰值。其峰点位于 处，峰值为 在 时，若认为主极点矢量增长 倍时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以近似确定此时的系统带宽约为 。4. 当 时，两极点分别位于 轴上的 处，此时系统处于无阻尼状态。系统的相位特性也可以从零极点图得到。此时，只需考察当动点沿 轴移动时所有极点矢量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，即可得到系统的相位特性。例3. 全通系统：考查零极点对称分布的系统（一阶全通系统）v 该系统的 在任何时候
12、都等于1，所以称为全通系统。v 其相位特性全通系统的零极点分布呈四角对称特征。三阶全通系统全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。例4. 最小相位系统：考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平面，另一个系统的零点均在右半平面。显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统。因此将零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统。工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer滤波器都是最小相位系统。当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一
13、个全通系统级联来实现。从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置。最小相位系统全通系统最小相位系统全通系统非最小相位系统Properties of the Laplace Transform则ROC至少是9.5 拉氏变换的性质v 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。1. 线性（Linearity ）：若而ROC扩大为整个S平面。 当 与 无交集时，表明 不存在。例.（因为出现了零极 点相抵消的现象）2. 时移性质（Time Shifting）:若ROC不变则3. S域平移（Shifting in the s-Domain） :若则表明 的ROC是将 的ROC平移了一个 。这里指ROC的边界平移。例.显然4. 时域尺度变换（Time Scaling）:若则例 1.求 的拉氏变换及ROC当 时 收敛， 时 收敛例2.可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。特例表明：信号在时域反转，其拉氏变换的ROC将发生边界的反转。例如：5. 共轭对称性（Conjugation）：若则如果 是实信号，且 在 有极点（或零点），则
