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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 课题：3从速度的倍数到数乘向量 三维目标：三维目标：1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1 “模”与“方向”两点) 2三个运算定律（结合律，
2、第一分配律，第二分配律） ） ，在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深 的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.重点与难点重点与难点: 重点：1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：1
3、. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解.教学方法：教学方法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:多媒体、三角板.教学过程教学过程【探究新知探究新知】1 思考: （引入新课）已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)备注aaaaOAB中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ OC= BCABOA=a+a+a=3a PN= MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a讨论： 3a与a方向相同且|3a|=3|a| 3a与a方向相反
4、且|3a|=3|a|2从而提出课题：实数与向量的积；实数 与向量a的积，记作：a定义：实数 与向量a的积是一个向量，记作：a|a|=|a|0 时 a与a方向相同； 时 两边向量的方向都与 a同向当 0 且 1 时在平面内任取一点 O，作 OA=a AB=b1OA=a11BA=b则 OB=a+b1OBa+b由作法知： AB11BA有OAB=OA1B1 | AB|=|11BA| |111ABBAOAOA OABOA1B1 |1OBOB AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|1OB|=| OB| 1OB与 OB方向也相同(a+b )=a+b当 0 时 可类似证明：(a+b )=a+
5、b 式成立【探究新知探究新知】 若有向量a(a0)、b ，实数 ，使b =a则由实数与向量积的定义知：a与b 为共线向量若a与b 共线(a0)且|b |：|a|=，则当a与b 同向时b =a；当a与b 反OABB1A1AOBB1A1备注中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 向时b =a从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b =a.例题讲评例题讲评 例 2. （见 P82例 2）略例 3.（P82例 3 改编）如图： OA， OB不共线，P 点在 AB 上，求证：存在实数1.且使 OBOAOP（证明过程与
6、 P82例 3 完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【探究新知探究新知】1思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？对于平面上两个不共线向量1e，2e是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2教师引导学生分析设1e，2e是不共线向量，a是平面内任一向量OA=1e OM=11e OC=a=OM+ON=11e+22eOB=2e ON=22e得平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1，2使a=11e+22e. 注意几个问题注意几个问题：PBAO1e 2eaONBM MC M备注
7、中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 1e、2e必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底. 这个定理也叫共面向量定理.1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量.同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.例题讲评例题讲评 例 41kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，已知两细绳与水平线分别成 30, 60角，问两细绳各受到多大的力？解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为 90| OP=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30|1 OP=| OPcos60=121=0.5 (kg)|2 OP=|
8、 OPcos30=123=0.87 (kg)即两根细绳上承受的拉力分别为 0.5 kg 和 0.87 kg例 5. 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 AB=a， AD=b ，用a，b 表示 MA， MB， MC和 MD解：在 ABCD 中 AC= AB+ AD=a+b DB= AB AD=ab MA=21 AC=21(a+b )=21a21b MB=21DB=21(ab )=21a21b MC=21AC=21a+21b MD= MB=21 DB=21a+21b例 6. 如图，在ABC 中， AB=a, BC=b ，AD 为边 BC 的中线，G 为ABC 的重心，求向量AGDMAB M
9、C MabP1PP23060备注中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 解法 1： AB=a, BC=b则 BD=21 BC=21b AD= AB+ BD=a+21b 而 AG=32 AD AG=32a+31b解法 2：过 G 作 BC 的平行线，交 AB、AC 于 E、FAEFABC AE=32 AB=32a EF=32 BC=32b EG=21 EF=31b AG= AE+ EG=32a+31b例 7设1e,2e是两个不共线向量，已知 AB=21e+k2e, CB=1e+32e, CD=21e2e, 若三点 A, B, D 共线，求 k
10、 的值.解： BD= CD CB=(21e2e)(1e+32e)=1e42eA, B, D 共线 AB, BD共线 存在 使 AB= BD即 21e+k2e=(1e42e) 42kk=8（备选题）（备选题）如图，已知梯形 ABCD 中，ABCD 且 AB=2CD，M, N 分别是 DC, AB 中点，设 AD=a, AB=b ，试以a, b 为基底表示 DC, BC, MN解： DC=21 AB=21b连 ND 则 DCND BC= ND= AD AN=a21b又 DM=21 DC=41b MN= DN DM= CB DM= BC DM=(a+21b )41b =41b aDAB MC Mab
11、DAE MC MabB MF MG MODAM MC MB MN M备注备注中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 课课堂堂练练习习： P ( ) 练习 1在 ABCD 中，设对角线 AC=a， BD=b 试用a, b 表示AB，BC2.已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是任意一点，求证： OA+ OB+ OC+ OD=4 OE.课堂小结：数乘向量的几何意义理解.向量b 与非零向量a共线的条件是：有且只有一个非零实数 ，使b =a.平面向量基本定理的理解及注意的问题.作业布置P( ) 习题习题 板书设计：板书设计：3从速度的倍数到数乘向量1.实数与平面向量的积-数乘向量2. 平面向量的共线定理3.平面向量基本定理范例讲评：例 1： 例 3： 例 6： 例 7：例 2： 例 4： 例 5：教后记：教后记：
