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1、 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ，其中 （r=0,1,2,n）叫做 ，叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有 _个项.展开式 二项式系数r+1 n+1二项式定理 2.系数规律：2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律： 展开式共有n+1个项二项式定理 1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)nCn0Cn1Cn2Cn
2、rCnn 表中的每一个 数等于它肩上 的两数的和这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”类似上面的表,早在我 国南宋数学家杨辉 1261年所著的详解九章算法一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算 书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的九章算
3、术杨辉详解九章算法中记载的表本积平方立方三乘四乘五乘商实二项式系数的函数观点展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当n=6时，其图象是7个孤立点定义域0,1,2, ,n 二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系 数与 第五项的二项式系数相等，课堂练习1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系 数相等是( )A 第项 B 第项 C 第项 D 第项则n=_B6问：由上研究请问:一般地,当r满足什么范围时 ，后一项Cnr比前一项
4、Cnr-1要大?分析:以上问题即Cnr Cnr-1时，求r的范围?（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质 二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半 部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.先增后减n是偶数时，中间的一项（第项）的二项式系数取得最大值 ；当n是奇数时，中间的两项（第 项）的二项式系数 和 相等，且同时取得最大值。 （2）增减性与最大值 二项式系数的性质 1615 20 1561111211331146411510 10511.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .2.（x-2)9的展开式
5、中，第6项的二项式系数 是（ ）A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C4.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的 项的系数。 最大的系数呢？课堂练习3.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数 最大，并求出其最大的二项式系数最大。解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。n=1,C10+C11=2n=2,C20+C21+C22=4n=3,C30+C31+C32+C33=8n=6,C60+C61+C62+ +C66=64Cn0+Cn1+Cn2+Cnr+Cnn=猜想：2n？(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn
6、0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究3（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质 赋值法例1、证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：n-1证明（a+b）nCn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ + Cnran-rbr+Cnnbn令a=1,b=-1得特例法 赋值法例2、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。 依题意， 为偶数，且解：例3.已知(
7、1+a)n展开式里，连续三项的系数比是3：8：14，求展开式里系数最大的项。答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a5点拔:倒序相加求和法.课堂练习-2-1094 1093课堂练习6、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项 式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常 数项，求 a : b 的取值范围。 解：令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 为常数项，且系数最大。例4：由 展开式所得的x的多项式中 ，系数为有理数的共有多少项？分析：考虑 的展开式的通项要使 x 系数为有理数，则 r 为 6 的
8、倍数，令 r = 6k（ kZ），而且 06k100，即 r = 0，6，12，96。因 此共有17项。（1） 二项式系数的三个性质:（2） 数学思想：函数思想。二项式系数之和:最 值:（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。增减性:n2(由赋值法求得 )课堂小结; http:/ TXT电子书免费下载 qsz28nts 的，烧水炒菜做饭都很方便。这些都是房东原先就备有的。走之前，我和你们婶子把各个房间的里里外外都收拾干净后，又给你们准
9、备了一些 米面油盐什么的，还搬来一坛子泡菜，都放在厨房里了。喏，那还是三间南房，你们可以在里面存放柴火煤炭和其它杂物。我看到里边的柴火 和煤炭不多了，就又让人备了一些。还有啊，你们看，厨房台阶下那个高出一截儿盖着木板的大台子是一口甜水井。其他的，你们住下以后自 己看吧。好啦，咱们这就把东西都搬进去吧！”于是，大家一起动手，把所有行李包裹都搬进西侧正房的厅房里。李老乡又要打开那个放瓷器 的竹筐，说：“给你们留一些用吧，都挺好看呢！”耿正赶快挡住不让打开竹筐，说：“李叔叔，您这又是何苦呢！我们又不是居家过日子， 要好看的瓷器作啥啊！”李老乡也就不再坚持，爽快地说：“好好好，不留就不留。这样吧，你们
10、先简单收拾一下，洗个澡。我回去告诉你们 婶子一声，让她收拾做饭。过一会儿，我再过来接你们！”耿正和耿英都说：“千万不要来接，我们自己做饭吃就行了！您刚回来，需要好好 歇息呢！”李老乡想一想，说：“那也好，你们就自己简单做点儿饭吃吃，然后休息吧。我和你们婶子明天中午备好饭菜，给你们接风洗尘！ ”耿正兄妹仨都笑着点头答应了。送走李老乡后，兄妹三人返回小院儿关上门。耿正打了一桶水上来，耿直从厨房里拿出两个脸盆儿，耿英从 便包里拿出两块儿毛巾。兄妹三个简单洗手擦脸以后，耿正吩咐耿直去厨房里的大灶上生火烧水。除了需要备一些喝的开水外，大家都应该痛 痛快快地洗去这五天来的一路风尘呢。耿直高兴地答应一声，就
11、转身去厨房收拾烧水去了。耿正和耿英也不闲着，他俩先麻利地把那两个打包 有细软的包裹打开，把所有的银子收拾在一起放好后，耿正把自己和弟弟的被褥抱到正屋西侧的卧房，耿英把自己的被褥抱到正屋东侧的卧房 ，各自铺展收拾好了。然后，耿英把兄妹三人的衣服规整一番，分别放在东、西两个卧房的衣柜里。爹的那个被褥衣物大包裹，耿英用一大块 布包裹好了，立在自己卧房衣柜的一侧。一会儿，耿直过来了，说：“水烧开了！我已经给咱们每人晾了一碗，又舀出一大水罐。”耿英说： “再把大锅添满了烧着吧，咱们洗澡费水呢！”耿直说：“我已经把桶里的水都添进去了，可那个大锅还不满呢！”耿正说：“我这就去打水 ，把厨房里那口大水缸也放满，咱换下来的衣服得洗呢！”耿英想一想说：“这房东真是，这台阶下就有水井，还在厨房里放那口大水缸干吗 呀！哥，你干脆把那口大水缸悠到院儿里吧，咱好用它来晒水洗衣裳，还省了烧热水呢！”耿正说：“是哩，井水洗衣裳太凉，烧热水又麻烦 ，正好晒了水再洗！”说着话，耿正先提了水添满
