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1、 5、函数x和x 定义1：设x是实数，用x表示不超过x的最 大整数，称它为x的整数部分。又称x=x-x为x的小数部分。例2.4=2，-2.4=0.6,-2.4=-3性质：1、由定义有恒等式x=x+x2、 x x0,则有证：注意与带余除法的比较。7、a,b 是正整数，则不大于a而为b 的倍数的 正整数恰有 个。证：能被b 整除的正整数为b,2b,3b,设这些 整数的个数恰好为k个，则 ,即 ， 所以 例:1到1000的这1000个数是6的倍数的有多少 个.有 个.8、对正整数m,有证：由带余除法x=mq+r, ,所以又 , 所以即有n!的标准分解定理：设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数
2、，则有p(n!)=先来看一个例子例:15!中2的个数为11个.证：若p n,则p n!, 即p(n!)=0, 成立。若 ,则由性质知在1，2，n中，p的倍数有 个，为p,2p, p, 其积为 同理若 ，则 1，2，3, 中，p的倍数是p,2p, p, 其积为 再在1,2,3, 中作同样讨论 ，依次类推有p(n!)=推论1：n为正整数，则有推论2：n为正整数，1 k n-1,则有证：对任意p, n!, k!, (n-k)!的标准分解中p的 指数分别为由性质即有k!(n-k)!|n! , 从而证明了结论。推论3：n为正整数，设f(x)是一个n次的整系 数多项式, 是它的k阶导数，则 是一个n-k次
3、整系数多项式。证：显然 是n-k次整系数多项式， 设 ,则 中 的 系数为为整数，所以结论成立。例1： 求2005!末尾零的个数。解：因为10=25，而2比5多，所以只要考虑2005！中5的幂指数，即5（2005！）= 例2：证明（n!）(n-1)!|(n!)!证：对任意素数p,设（n!）(n-1)!中素数p的指 数为 ,（n!）!中p的指数，有 ,从而证明了结论.注： 要证明a|b，只要证明对任意素数p，a中 p的幂指数不超过b中p的幂指数即可，用p(a) 表示a中p的幂指数，则a|b 的充要条件是 p(a) p(b)例3 : 设c不能被素数平方整除，若a2|b2c，则 a|b证：由已知p(c)1，且p(a2)p(b2c) 2p(a)2p(b)+p(c) p(a)p(b)+ p(c)即p(a) p(b) a|b例4：设p为素数，则有p| ,其中k为小 于等于p-1的整 数证：由性质知有由已知(p,k!)=1, (p,(p-k)!)=1,所以有(p, k!(p-k)!)=1,又有上式得即p| , 从而证明了结论。
