第一节映射与函数

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1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂欢迎同学们登高必自山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂联系地点 文理大楼 719 电子邮件 办公室电话 8242504山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂初等数学 研究对象：常量 初等方法：有限的方法 初等数学是用有限的方法研究常量的数学高等数学 研究对象：变量（函数） 研究方法：极限的方法 高等数学是用极限的方法研究变量的数学绪山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一元微 分学一元积 分学多元微 分学空间解 析几何多元积 分学级数 常微分 方程高等高等 数学数学山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第一章 函数与极限第一节 映射与函数第二

2、节 数列的极限第三节 函数的极限第四节 无穷小与无穷大第五节 极限运算法则第六节 极限存在准则 两个重要极限山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第一节 映射与函数一、 集合二、 映射三、 函数山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、集合集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；1.集合概念 (1)集合：具有某种特定性质的事物的总体， 集合的元素通常用A，B，S，T 等表示. 元素: 组成这个集合的事物集合的元素通常用a，b，x，

3、y等表示.集合分为有限集和无限集.a M: 若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来, 描述法 :如:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂N=全体自然数，Z=全体整数， Q=全体有理数，R=全体实数.(3)常用的集合记号如果 ，必有 , 则称A是B的子集，记为不含任何元素的集合，则称为空集记为. 是任 何集合的子集. (4) 集合的关系集合:集合A内排除0的集. 集合:集合A内排除0与负数的集.若 ，且 ,则称A是B的真子集,记为 .若 ，且 ,则称A与B相等,记为 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 集合的运算 设A、B是二个集合，定义 (A与B

4、的并集) (A与B的交集) (A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都 是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如: 在实数集R中则有山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.集合的运算法则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 3. 区间和邻域 设a,bR,且ab,开区间闭区间半开区间称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂无限区间用数轴可以表示区

5、间, 区间常用I表示.引进记号：+ （读作正无穷大） (读作负无穷大） （读作无穷大）山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂(2) 点a的去心邻域：注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为邻域点a的左邻域:开区间(a-,a)点a的右邻域:开区间(a,a+)(1) 设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域 ，记为U(a,)，即点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.a山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、映射 1、映射的概念定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法 则f , 使得对X中每个元素x, 按法则f , 在Y中有唯一 确定的元素 y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射

6、,记为 其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x), 即y=f(x) ,元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像; 集合X称为映射f 的定义域, 记作D f , 即D f =X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 Rf 或 f(X), 即山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂注意: (1) 一个映射必须具备以下三个要素:集合X, 即定义域D f =X集合Y, 即值域的范围:对应法则f, 使对每个有唯一确定的y=f(x) 与之对应.(2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的; 对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不 一定 .

7、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例1 设 , 对每个 , . 显然, f是一个映射, f 的定义域 ,值域 它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原 像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2 设对每个 ,有唯一确定的 与之对应. 显然, f 是一个映射, f 的定义域 ,值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心 在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间-1,1上.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例3 设对每个 , 这里f 是一个映射,其定义域 ,值域f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素yf为X到Y上的单射: 若对X中任意

8、两个不同元素满射 单射 一一映射都是X中某元素的像.f为一一映射(或双射): 若映射f 既是单射又是满射. 如:例1 既非单射, 又非满射; 例2 不是单射,是满射 ;例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.它们的像山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中, 映射又有不同的惯用名称.如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 逆映射与复合映射设 f 是X到Y上的单射,定义一个从R

9、f到X的新映射g 即对每个规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f 的逆映射,记作 其定义域值域注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂设有两个映射其中则可以确定一个从X 到Z 的映射, 称为复合映射记作即注意:(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:两者也不同时有意义 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例4 设有映射对每个对每个山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、函数 1.函数概念因变量自变量对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之 对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x)

10、,即y=函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,定义 设数 集 , 则称映射 为定义D上的函数，通常简记为f (x). D称为定义域, 记作 , 即 记作 或 f (D) , 即山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内. 函数的两要素: 定义域 与对应法则f .如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际) 意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数， 否则叫与多值函数 例如:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就