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1、第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 一一. .消元法解线性方程组消元法解线性方程组公元前公元前1 1世纪世纪, ,九章算术九章算术 初等变换初等变换, , 相当于相当于高斯消元法高斯消元法 线性方程组的一般形式什么是初等变换?用矩阵形式表示此线性方程组：令则，线性方程组可表示为如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍引例 求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程 2
2、 2x x1 1 3 3x x2 2+ 4 + 4x x3 3= 4= 4x x1 1+ 2 + 2x x2 2 x x3 3= = 3 32 2x x1 1+ 2 + 2x x2 2 6 6x x3 3= = 2 2 第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3= = 4 4x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 32 2x x1 1+2+2x x2 2 6 6x x3 3= = 2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3 2 2x x1 1 3 3x x2
3、 2+4+4x x3 3= 4 = 4x x1 1+ + x x2 2 3 3x x3 3= = 1 1 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3x x2 2+2+2x x3 3= = 2 2 x x2 2 2 2x x3 3= = 2 2 2 2 ( ( 1)1)x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3 x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 32 2 2 2 6 6 2 2轻装上阵轻装上阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3
4、4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 ( ( 1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3= = 3 3x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0
5、0 0 x x1 1 5 5x x3 3= = 1 1x x2 2+2+2x x3 3= = 2 20 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 1 0 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 = 5= 5c c + + 1 1x x2 2= = 2 2c c 2 2x x3 3= = c c其中其中c c为任意实数为任意实数. . 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( 2) 2) 2 2 1 0 1 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0
6、0 0 0 0 ( ( 1) 1) 5 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Gauss-Jordan reduction2. 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍1.上述解方程组的方法称为消元法3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的故这三种 变换是同解变换第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1. 1. 初等行变换初等行变换(elementar
7、y (elementary row operationsrow operations) ) 初等列变换初等列变换(elementary column(elementary column operations operations) ) (1) (1) 对换变换对换变换: : r ri ir rj j, , (2) (2) 倍乘变换倍乘变换: : r ri i k k, , （k k非零非零） (3) (3) 倍加变换倍加变换: : r ri i+ +k kr rj j. . (1) (1) 对换变换对换变换: : c ci ic cj j, , (2) (2) 倍乘变换倍乘变换: : c ci
8、 i k k, , (3) (3) 倍加变换倍加变换: : c ci i+ +k kc cj j. . 矩阵的初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同逆变换逆变换逆变换初等列变换(elementary (elementary row operationsrow operations) ) 初等行变换(elementary (elementary row operationsrow operations) ) 等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价(equivalent)(equivalent)例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义2：(1) (1) 反身性
9、反身性(reflexivity) (reflexivity) A A A A, , (2) (2) 对称性对称性(symmetry) (symmetry) A A B B B B A A, , (3) (3) 传递性传递性(transitivity) (transitivity) A A B B, , B B C C A A C C. . 第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 三三. . 行阶梯形矩阵与行最形矩阵行阶梯形矩阵与行最形矩阵 A A 中非零行的数目为中非零行的数目为A A的的阶梯数阶梯数. . 1 1 0 0 4 0 1 0 2 2 0 0
10、0 2 3 0 0 0 0 41 1 2 0 4 0 1 3 2 2 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0,行阶梯形行阶梯形( (r rowow echelon form echelon form) ) 注意注意 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵! ! 1 1 0 0 4 0 1 0 2 2 0 2 0 2 3 0 0 0 0 4特点：（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；（2）、每个台 阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 则称则称A A为为行最
11、简形行最简形( (reduced reduced row row echelon formechelon form) ). . 如果阶梯阵如果阶梯阵A A还满足如下条件还满足如下条件 各非零首元全为各非零首元全为1, 1, 非零行首元所在列的其余元素全为非零行首元所在列的其余元素全为0, 0, 1 0 2 0 1 0 1 3 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0注注: : 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明: : 任何一个矩阵都任何一个矩阵都可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为行最简形变换化为行最简形矩阵矩阵. .例如例如 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行
12、 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形第一章第一章 矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 3. 3. 若若mm n n矩阵矩阵 A A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为 E Er rO Or r ( (n n r r) )O O( (mm r r) ) r r O O( (mm r r) ) ( (n n r r) )的形式的形式, , 为为A A的的( (等价等价) )标准形标准形 则称则称 注注: : 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明: : 任何一个矩阵都任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形可以经过有限次初等变换化为标准形. .(canonical form). (canonical form). 例如，特点：所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简 单的矩阵.例1：将下列矩阵化为等价标准型解：第一行乘以 ，第二行乘以 加到第三行第一列乘以 加到第二
