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1、传染病动力学与个体行 为的相互影响张海峰 zhhf_纲要l相关背景介绍l个体行为与传染病动力学关系的一些研究进展l本人的一点工作和想法一、背景工作介绍：l经典的传染病模型：SIS (Susceptible-Infected-Susceptible); SIR (Susceptilbe-infected- Removed/Recovery);SEIR,SIRS.对应的微分方程：基本再生率R：一个病人在平均患病期内能感染的最大人数， 如R1则疾病自然灭亡，否则盛行。R= ，数学上的处理方法 主要是研究在不同情况下的R.以及相关的稳定性条件（局部的和全局的）复杂网络上的疾病传播l主要结论：l规则网
2、络随机网络小世界网络无 标度网络（传播速度逐渐变快），尤其是无标 度网络，当网络结构充分大的时候，即使充分 小的传染率也可以使疾病盛行。由于：l l研究复杂网络上传染病动力的方法有：l平均场理论（mean-field），渝渗理论（ percolation）,Markov链方法等。研究方向l网络结构对动力学的影响（无标度，小世界， 社团网络，层次网络等）。l不同网络结构的相关免疫策略等（目标免疫， 熟识者免疫，环状免疫，图划分免疫等）。l网络上的个体在不同结点之间的迁移对疾病传 播的影响。l网络和疾病的共同演化。l其他如，地理距离，接触频率，结点之间的相 关性等二、个体行为与传染病动力学关系的
3、一些研究进展l以前的主要从纯粹的动力学角度研究传染病， 比如网络结构对动力学的影响，时间延迟，非 自治，脉冲,极限环，hopf分叉等。虽然很有 用，但是单纯的动力学的角度研究不能真实反 映传染病动力学的变化。因为当一种传染病流 行开来，必然引起个体、社会各方面的变化， 如自我保护，恐惧，自暴自弃，政府干预，等 等。这些行为又反过来影响传染病动力学的变 化，他们之间相互影响。研究方向l从博弈论的角度研究个体的免疫策略问题l个体从经济学和运筹学（代价函数，效用函数 ，贴现率，动态随机规划等）的角度考虑自我 保护和被感染风险的代价决定自己的行为。l疾病对个人、社会的经济影响，以及对预防的 优化控制问
4、题等动力学与个体行为、政府决策的相互 关系示意图用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决策等因素之间的相互影响1.Group interest versus self-interest in smallpox vaccination policy, PNAS,100 (2003) 1564模型：由于接种水痘存在者死亡的危险，即使死亡率 很小，人们还是很容易产生恐惧。所以在面临 预防时，存在着一个困境，预防面临代价，不 预防也有被感染的风险；另外由于(herd immunity）群体免疫的作用，如果别人采取了 免疫那么我被感染的风险减小，我可以不免疫 ，但是别人也有这样的想法，所以这是一个预 防困
5、境问题。用博弈中的收益（payoff)来描述 接种的收益 和暂时不接种的收益 ：l假设每个个体采取接种的概率为p,在群体中就 有p比例的人选择接种，此时对应个体而言，个体的平衡点为：对于整个集体的最优为,代价C(p):最小。主要结果（个体最优和全局最优的差距）2.Can Influenza epidemics be prevented by voluntary vaccination, PLoS computational biology, 3(5) (2007) e85模型：l流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一个 季度），但是流感又是不断发生的，因此对于 理性个体就要不断做决定是否采取接
6、种疫苗， 那么他/她就会根据当前的爆发范围、接种疫 苗的范围、以及以前的成败史来判断当前是否 采取接种。假设1. 有N个个体，自愿原则接种。 2. 每个个体可以根据以前的经验做参考，即采取归纳推理的方式做判断。用0=s1反映个 体对以前的依赖程度，s=0,表示完全忽略以前的经验.3.4,后一个季节的变量由前一个季节的变量决定。5，两种不同的政府补贴 引起的不同效果免疫比例p (black) 和感染比例f (red)的时间演化图3.Modeling the effect of information quality on risk behavior change and the transmis
7、sion of infectious diseases， Mathematical Biosciences,217 (2009) 125l模型： 以SIS模型为例研究个体在不同信息下做风险估计，进而对疾病传染病的影响。采用随机动态规划得到的风险估计，一旦风险大就采取保护， 否则不保护。抽样范围对爆发范围和采取接种人数的影响自我保护代价对成功率（frequency of eradication）的影响传染率对成功率（frequency of eradication）的影响4.Optimizing the control of disease infestations at the landsca
8、pe scale, PNAS 104 (2007), 4984l考虑最简单的接触方程（CP-SIS模型）没有采取措施：对其中的一部分k/n采取措施，使得被 感染的尽快恢复，即得到使得疾病被消灭的阈值：（不考虑经济代价） 当考虑经济代价的时候，应该使得预防和被感染造成的危害之和最小。 分两种情况：主要结果 l对于short period的最优情况k_c=0，or k_c=n 。对应 long period 最近一个稳定的中间态：5，Imitation dynamics predict vaccinating behaviour,Proc.R.Soc.B 272, (2005),1669l刻画模仿
9、机制（学习更成功者），对于易感染 者，他们在做决定之前，首先随机从人群中抽 样一部分人，比较他们到底是免疫的收益高还 是不免疫的收益高，然后采取收益高的行为。l模型：l免疫的收益为： 不免疫被可能被感染的收益为：相应的微分方程分两种情况再和SIR模型结合就得到：结论:在不同的条件下出现不同的 相Hopf bifurcation around epislon_4选择接种的人数x和被感染的人数在不同的条件下随着参数omega(L)和kappa（R） 的变化情况。6,Philipson “Economic Epidemiology and Infectious Diseases,” (1999) ,
10、NBER Working Paper, 7037 传染病阴影下的个人预防困境及其突破，浙江学报，4，（2008） ，163l首先，把所有的人划分成三类：第一类是易感人群(S_t)；第二类 人是感染人群(I_t)，同时也用表示扩散的程度；第三类人是具有 免疫类的人群(R_t).l其次，定义“扩散门槛”，它是根据采取预防措施和不采取预防措 施时的两种效用的对比来确定的。假定存在一个效用数： 。 其中d=0,1代表是否采取了预防措施，d=1:有预防需求；d=0:没 有需求。h代表健康的状况：h=s，代表是S_t类人；h=i代表是I_t 类人。那么对S类人而言，他们的（行为）判断标准的函数可以 表示为
11、：l是贴现率，用以表示易感染类人他们选择现在是否预防的一个 贴现值。如果他们不采取预防措施，那么就面临着将来成为传染 病人的危险。也就是说人们选择何种行为（预防，不预防），取 决于对这两种状态下效用的对比，我们可以得出一个更直观的式 子，l那么可以得出结论说，当传染病的扩散达到某个水平的 时候人们才开始自发的采取预防措施。这个扩散水平就 是我们上面提到的“扩散门槛”，用K来表示这个扩散的水 平，那么通过解这个标准函数，我们可以得出K的一个基 本表达式：l从中可以看到：S_t类人自发采取保预防措施的当前成本 （u(s,1)-u(s,0)）或贴现值上升的时候，扩散门槛就上 升；当被感染的成本（u(
12、s,1)-u(i,0)）或上升的时候， 扩散门槛相应地会下降。l在传染病扩散的过程中，个体行为表现在扩散弹性上的 特点使传染病的扩散具有周期性，也就是说在个人理性 下，私人预防市场是难以根除传染病的。因为扩散弹性 是一个主观的值，所以对不同的易感者而言其扩散的门 槛水平K常常是不同的，从社会角度来看，人们反应于扩 散水平的预防行为并未达到社会的最优。7，What is the best control strategy for multiple infectious disease outbreaks, Proc.R.Soc. B 274,(2007),833对于多波的疾病传播问题：什么样的控
13、制策略最 优。以SIR模型为例，当没有控制时，有以下 情况：虽然下一波不会被感染，但是感染的人太多，所以不好。太强的控制，对于下一步不利，因为还有很多感染者可能被下次感染； 太弱也不好，因为被感染的人数太多，最好的是恰好控制到“不会引起爆发 的门限”。三、本人最近工作和一些想法 1. Hub nodes inhibit the outbreak of epidemic under voluntary vaccination，New J. Phys. 12 (2010) 023015.假设网络中的个体是否采取接种是自愿的。又假设每 个个体知道他的哪些邻居被感染了。定义接种的代 价函数 和被感染的
14、代价 。 令每个个体被感染的概率则有其中C_1表示感染代价，C_2表示接种代价主要结果相同规模和相同平均度的BA网络和ER网络在没有接种（L）和在有自愿免疫 机制下的感染人数（C）以及采取接种人数（R)不同度的结点参加接种的倾向性（意愿）2,Epidemic dynamics on complex networks under voluntary vaccination: complete versus incomplete informationl假设个体本着自愿原则接种，那么个体就会从 自身利益出发，最大化个体利益。在做决定之 前，他要权衡接种的风险（花费和死亡率）以 及不接种被感染引起的
15、代价（痛苦，死亡率） 。l分两种情况，一种是个体完全知道邻居的状态 ；另外一种是个体仅仅知道总的感染比例。讨 论两种极端情况引起的不同反应。模型A:B:两种情况比较3,Risk estimation drives the dynamical evolution of contact patterns (initial idea) l模型：l假设疾病不是很致命，比如流感，那么人们在面临这 类疾病时就会权衡到底是不是需要断了和外界的联系 ，因为我们假设最初网络中每个结点和邻居的连接都 是有必要的。因此都不愿意主动断了这些边。l假设如下：网络中的每个结点每过一段时间T得到总 的感染比例，那么他们就根
16、据当前的感染情况和自己 的利益采取行动：断边或者重新恢复以前断了的联系 。l令每个结点的初始财富W_i（重要性）与他的度成正比， 其中每条边的利益（重要性）为 则 初始财富不随时间演化。 每个结点对当前的风险估计为令 表示当前应该保留的边数，如 果他小于当前的度，则断边，否则恢复边（立即恢复或者过 一段时间后再恢复）主要结论用断边重连机制和没有 对传播范围的影响当感染人数增加到一定范围就意味 着断边的发生断边的时间尺度对感染人数(L)和网络平均距离的影响(R) 推迟重连（恢复以前断的边）时间T1对疾病传播(L)和网络结构(R) 的影响每条边的代价对疾病传播(L)和网络结构(R)的影响传染率对爆发范围(L)和网络结构(R)的影响4,.l考虑以下一个问题：如果现在有可以预防性病或者艾滋病的疫苗，那么当 疫苗不是完全有效的情况下，这类疾病能不能有效的 控制？因为现实中存
