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1、 学法指津 中点加平行线构造全等三角形 中线加倍延长构造全等三角形 角平分线加垂线构造全等三角形 角平分线加相等线段构造全等三角形 有两组或以上垂直的线段一般用作证明角 相等例1（6分题）：如图，已知B=C=90，M是BC的中点， DM平分ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分BAD？请你证明你的结 论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：ADAB+CD练1 （6分题） ：如图，ABCD，DE平分ADC ，AE平分BAD，求证：AD=AB+CD练2 （9分压轴题） ：如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对 以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个
2、做全等三角形的方法，解 答下列问题（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别 是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你写出FE与FD之间的数 量关系。（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条 件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请说明理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。 例2 （6分题） ：如图，已知B=C=90，M是 BC的中点，DM平分ADC。求证：ADAB+CD 练1 （6分题） ：如图，已知在ABC中，AB=CD ，BDA=BAD，AE为ABD的BD边上的中线 ，求证：AC=2AE练
3、2 （6分题） ：如图，已知ABCD，AD与BC相交于F， BE平分ABC，E为AD的中点，问：AB、BC和CD三条线 段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用 下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它 们所对的边也相等简写成“等角对等边”）。学法指津 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图 形的解题思路一致。解答复杂图形，要把 复杂图形分解成基本图形进行解答，就会 觉得非常简单了。 图形越复杂，条件越多，做起来越简单， 因为不用做辅助线；图形越简单，条件越 少，做起来越难，往往要通过画辅助线来 创造条件解决。 解决复杂图形题目时，一般把已知条件在 图中描出来或标出来，这
4、样有利于整理条 件。例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的OAB和 OCD中，OA=OB，OC=OD，且AOB=COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到 A、C、D在同一条直线上时，问（1）中的结论是否仍然 成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由 。练1（9分题）：已知，如图，在ABC中，AD平分 BAC，DEAB与E，DFAC与F。 （1）求证：ADEF （2）如图、，当有一动点G在AD所在的直线上运动， 其余条件不变，那么，这时EFAD的结论是否仍然成立？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 练2（9分压轴题）：如图，一
5、个等腰直角三角尺GEF的两条直 角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起。现正方形ABCD保 持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也是BD的中点）顺 时针方向旋转。（1）如图，当EF与AB相交于点O，GF与BD相 交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足 的数量关系，并证明你的猜想。（2）将三角尺GEF旋转到如图 所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段 BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成 立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 学法指津学习本课内容，要深刻 理解七年级第二学期的“三 角形”一章内容以及关于
6、垂 直平分线的知识，才能真正 掌握解题技巧及方法，做到 “胸有成竹”。例4 （6分题） ：如图，要在燃气管道l上修建 一个泵站，分别向A、B两镇供气。（1）泵站 C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短 ？（不写做法，保留作图痕迹）（2）请你在 （1）的基础上，过A点作ADl，并连接DB， 求证：AD+DBAC+CB。练1 （6分题） ：如图，已知牧马营地M处， 每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草 地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短 的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）练2 （6分题） ：如图，E、F为 ABC的边AB、AC上的两个定点 ，在BC上求作一点D，使DEF的 周长最短。例5
7、 （6分题） ：如图，已知在 ABC中，DE垂直平分BC，若 ABC的周长为10，BC=4，求 ACE的周长。练1 （6分题） ：如图，在ABC中 ，DE垂直平分AC，AC=5，ABD 的周长为13，求ABC的周长。练2 （6分题） ：如图，等腰三角形 ABC的周长为21，底边BC=5，DE垂直 平分AB，求BEC的周长。例6 （6分题） ：如图，已知ABC， 请你用尺规作图画出ABC关于直线l的 对称图形。练1 （6分题） ：如图，已知ABC，请你用 尺规作图画出ABC关于直线l的对称图形。练2 （6分题） ：如图，已知有一个圆在直线 l的左侧，请你用尺规作图画出这个圆关于直 线l的对称图形
8、。学法指津 角平分线加平行线构建等腰三角形 。 学习本课内容，要综合运用“等腰 三角形三线合一”、“等边对等角” 、“等角对等边”及“等边三角形三 条边相等、三个内角相等且三个内 角都是60”等定理，才能做出复杂 图形题目。例7（7分题）：已知，ABC和ECD 均为等边三角形，且B、C、D三点在同 一条直线上，求证：（1）BE=AD（2） FGBD练1 （7分题） ：已知ABC和 ECD均为等边三角形，求证： AD=BE练2 （7分题） ：如图，已知ABC 和ECD均为等边三角形，求证： BE=AD例8 （7分题） ：如图，已知四边形ABCD和 ECFG均为正方形，求证：（1）DF=BE（2
9、）DFBE练1 （7分题） ：如图，已知ADC和 BDE均为等腰直角三角形，求证：（1 ）BC=AE（2）BCAC练2 （7分题） ：已知ABC和EDC均为 等腰直角三角形，求证（1）AE=BD。（2） AEBD。提高题（9分压轴题）：如图，已知D为AB的中点，AB=AC=10厘米，BC=8厘米 ，点D为AB的中点。 （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线 段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理 由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够 使与全等？ （2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出 发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇 ？小结证明两条线段相等或角相等，如 果这两条线段或角在两个三角形内， 就证明这两个三角形全等；如果这两 条线段或角在同一个三角形内，就证 明这个三角形是等腰三角形；如果看 图时两条线段既不在同一个三角形内 ，也不在两个全等三角形内，那么就 利用辅助线进行等量代换。
