初中数学思想方法选讲

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1、 初中数学思 想方法选讲在数学的海洋中，一 道道数学题只是大海中 的一朵朵浪花，谁能踏 遍每一朵浪花呢？数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次: : 数学思想数学思想 和方法和方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方 法法( (或思维方法或思维方法) )数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、 待定系数法、判别待定系数法、判别 式法、割补法等式法、割补法等分析法、综合法、分析法、综合法、 归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、分函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等合思想、化归思想等函数与方程思想v例 如图， 中

2、，BC4，P为BC上一点，过 点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P 在BC上何处时， APD 面积最大？设BPx， APD 的面积为y如图,已知AB是半圆O的直径,圆O 与圆O内切，圆O切AB于C,CO的延长线 交O于E,又AB=6，CE= ,求O半径DABECOO 3-rrr以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O, 过点 D作直线切半圆于点F, 交AB边于点E. 则三角 形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）(A) 3:4 (B) 4:5(C) 5:6 (D) 6:7数形结合思想数形结合百般好数形结合百般好数数缺形时少直观缺形时少直观形少数时难入微形少数时难入微隔裂分家万事休隔

3、裂分家万事休2. 方程 的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个1.对于二次函数yax2bxc，若a0，b0，c 0， 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ）A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴C.有两个，都在x轴的负半轴D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴Oyx-2-3y12y241-2 -1若y12x2，y22x24x2，y3Oyx-3y12y3-13( 08湖北恩施州) 如图,C为线段BD上一动点,分别过 点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示ACCE的长； (

4、2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论, 请构图求出代数式的最小值. ED CBA如图，RtABCRtADE，A=900，BC和 DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边 的距离是_一般解法：经过添加辅助线， 利用相似三角形的判定和性质，解 方程等步骤得到结果解：如图，建立平面直角坐标系，x=启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维 量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定 的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出 奇制胜的作用以数解形 以形助数化归思想v未知向已知转化； 复杂问题向简单问题转化， 空间向平面的转化； 高维

5、向低维转化； 多元向一元转化； 高次向低次转化； 函数与方程的转化； 无限向有限的转化等；1、解方程（组）降次、换元、公式变形2、方程和函数及不等式转化3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论 的变化和图形的变化4、代数、几何之间的转化思想v不等式的学习 v = +1 +1 如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D为 半圆的三等分点，求阴影部分的面积?如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD均为正方形，反比例函数 的图象经过D、E两点，则DOE的面积等于_ A B B A A B A BLL延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分 支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民

6、小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距 离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1） 如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如左图所示， 那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长 度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L 的同旁，如图右所示，那么分支点M在什么地方时总路 线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ABCDMN延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？A BMNOP延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，求AP+B

7、P的最小值。延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中， DAB=600，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ABCDEFxyoMPQ 延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=? A B牧童放牛 将军饮马如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河 边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点 ，才能使牛群所走的路程最短？分类讨论思想一.与概念有关的分类v1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3x 6，相应的函数值的取值范围是-5y-2 ，则这个函数

8、的解析式 。-5=-3k+b -2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值 与交点坐标。1、对A进行讨论2、对B进行讨论3、对C进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB35 35110ACB5011020二.图形位置、形状的分类在三角形的边上找出一点，使得该点 与三角形的两顶点构成等腰三角形！在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.（1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时 ，TOP是等腰三角形？xy0.P情况一:OP=OT情况二:PO=PT情况三:TO=TPT3(-

9、4,0)在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA（1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时 ，TOP是等腰三角形？(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A.点T为坐标系中的一点。以点 A.O.P.T为顶点的四边形为平行 四边形,请写出点T的坐标?(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A.点T为坐标系中的一点。以点 A.O.P.T为顶点的四边形为平行 四边形,请写出点T的坐标?在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.PA(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A.点T为坐标轴上的一点。以 P.O.T 为顶点的三角形与 AOP相似,请写出点T的坐标?半径为R的两个等圆

10、外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的 圆有几个？如图，边长为2的正方形 ABCD中，顶点A的坐标是（ 0，2）.一次函数yxt的图 象l随t的不同取值变化时，正 方形中位于l的右下方部分的 图形面积为S写出S与t的函 数关系式三、在运动中进行分类解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论. 四、含参型分类.分式方程、一次二次方程函数数学方法技巧型数学方法主要有：消元法、配方法、换元法、 待定系数法、等积法、参数法、坐标法、构造法、 折叠实践法、几何问题代数化等。 逻辑数学方法有：分析法、综合法、归纳法、反证法等。例 计算换元法换元法消元法例.（a-1）:（b+1）:（

11、c+2）=1:2:3配方法反证法1589年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔 ，同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希 腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高处下落的 速度与其重量成正比”的错误论断。 伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的 论断是正确的，设物体A比物体B重得多，则A比B先落 地，现在把A和B捆在一起，成为物体A+B。一方面， 由于A+B比A重，则A+B比A应先落地；另一方面，由 于B比A轻，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比A慢 ，把A、B捆在一起时，B便“拉了A的后腿”，使A下落 的速度减慢，所以，A+B应该比A后落地。自相矛盾的结论：一方面，A+B

12、比A应 先落地，另一方面，A+B应比A后落地 。根源是亚里斯多德的论断。已知抛物线， ， 中至少有一条与轴相交，求实数a的 取值范围。 正难则反v设 a、b、c为实数，则x、y、z中至少有一个( )A大于零 B等于零 C不大于零 D小于零如图所示，在 中,点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向 点A运动（不运动到A点），圆O的圆心在BP 上，且圆O与边AC、AB相切，当点P运动2s 时，求圆O的半径r。面积法数学思想方法的实施途径v1 在知识的发生、形成过程中发掘并强化 渗透数学思想方法v2 在知识的运用过程中，注重数学思想方 法的分析和指导v3 在知识的归纳和总结中提炼概括数学思 想方

13、法定义在同一平面内，由不在同一条直线上的 三条线段首尾顺次相接所组成的图形。研究什么如何研究四边形转化为三角形类比知新在同一平面内，由不在同一条直线上的 n条线段首尾顺次相接所组成的图形。内角、外角多边形转化为三角形四边形多边形的内角和1180 318041802180合作学习 你能用适当的方法探究多边形的内角和吗？边数图形3 456n从某顶点出发 的对角线条数3120划分成的三 角形个数2341v今天我们研究了什么?v我们得到了哪些成果?v如何得到这些成果?v在研究过程中有何体会?研多边形内外角，展其本质学数学知识方法，取其精髓不变应万变学习梳理1234(a+b)(m+n)=am1234ab

14、mnamanbnbm多项式的乘法多项式的乘法+an+bm+bnaabbcc(a+b+c)2你能读懂下图吗?图形的语言a2 ab ab b2 =a2 +b2+c2+2ab+2ac+2bca2 ab acab b2 bcac bc c2(a+b)2=a2 +2ab +b2 直线与圆的位置关系当dr ，那么直线l与O相离 当d=r ，那么直线l与O相切 当dr ，那么直线l与O相交d表示圆心O到直线l的距 离，r表示O的半径rrr用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系， 来揭示圆和直线的位置关系。点与圆、圆与圆的位置关系 数形结合思想 分类思想在代数的教学中，二元一次方程组、整式乘法、因式 分解三个部分中经常用到一种方法就是换元法，体现 的就是整体思想。整体代入 1、解方程组：（1） (2) 2、已知 ，求下列代数式的值：（1） （2） （3）3、已知 求： 的值。整体加减 1、解方程组:（1） （2） 2、已知方程组 ，则 是多少？整体代换 1、计算：（结果用幂的形式表示） （1） （2） （3）