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1、第二章第二章 数列极限数列极限| |数列极限概念 | |收敛数列的性质 | |数列极限存在的条件 1使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；2使学生学会用定义证明极限的基本方法3通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。第二章数列极限教学目标：第二章第二章 数列极限数列极限一一 数列极限概念数列极限概念我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规
2、律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 yf(x)所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。 1. 数列极限的概念 课题引入1预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 v数列如果按照某一法则 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 数列举例: 2 4 8 2n ; 1 1 1 (1)n1 . x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列x
3、n可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点x1 x2 x3 xn . 数列的几何意义v数列如果按照某一法则 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n) nN . 数列与函数v数列如果按照某一法则 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 2数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极
4、限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的庄子。天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一 列,如图所示, 其长度组成的数列为 n21, 截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”分析：1、 n21随n增大而减 小，且无限接近于常数0；2数轴上描点，将其 形象 表示： 1 0 1/2 1/4 -1 EB an an+1AD例 2 三国时期，我国科学家刘徽 就提出了“割圆求周”的思想: 用直径为1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限
5、制的分割下去， 就得到一个(内接多边形的周长组成的）数列. 正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的
6、内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”.圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列Pn得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列Pn的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中
7、飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列 Pn 稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。一般地,若数列xn,当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列xn收敛, a为数列xn的极限.当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为v数列极限的通俗定义下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般化可得：我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中
8、,恰巧有 两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义的核心.从字面来说,这两个“无限”似乎并不难理解,但要追究其实质又觉得茫然.我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提.思考1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01?2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正数?这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实 质和精确的数学描述。当n无限增大时 xn无限接近于a .
9、当n无限增大时 |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时 |xna|可以任意小 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.分析因此 如果 n 增大到一定程度以后 |xna|能小于事先 给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常 数a.当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近 于常数a 则数列xn收敛a. a为它的极限.(2) 将“n无限增大 时 ”，数学“符号化”为“存在 N，当nN时”将“xn无限接近 a”，数学“符号化”为” “任给 0 ，|axn-|(3)“抽象化”得“数列极限”的 定义定义：设nx 是一个数列， a 是一
10、个确定的常数,若对任给的正数， 总存在某一正整数 N，使得当nN时 ，都有a|xn-|则称数列 nx 收敛于a，a为它的极限。记作 axnn=lim(或 xna,n )若数列 nx没有极限，则称该数列为发散数列。数列极限定义的“符号化”记法： 0, NN 当nN时 有|xna| . 注(i)此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给0标志着“要多小”的要求，用nN表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N） 0, NN 当nN时 有|xna| . (ii)定义中的具
11、有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。 0, NN 当nN时 有|xna| . (iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。 0, NN 当nN时
12、有|xna| . (iv)定义中的不等式|xna| （n N）是指下面 一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立(v)数列极限的几何意义都落在a点的邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定 的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.使得 N 项以后的所有项以下几种叙述与极限 的定义是否等价?并说明理由. 0, NN 当nN时 有|xna| . 0, NN 当nN时 有|xna| . 分析: 例1
13、证明 0, NN 当nN时 有|xna| . 三、用极限定义证明极限的例题 例2 证明要使（为简化,限定) 只要证取,当nN时,有由定义分析:例3 证明(k为正实数）由于,当nN时,便有分析: 证：取例4 证明nnq lim=0，这里1|1q证 若 q = 0 ,结果显然成立 若0q 1，令q=hh(11 0) 由于 (贝努利不等式)nnn hqq)1 (1 =nhnh1 11所以，0，取N=Nnh当,1 ，有 0nq1 1 注：1特别地当q=21时，此即为上述实例中的0)2(lim= nn 贝努利不等式 nhhn1)1 (1分析: 例4 设|q|log|q| 1就可以了.|qn10|=|q|
14、n1N时 点an全都落在邻域(a- a)内: 任意给定a的邻域(a- a) 0, NN 当nN时 有|xna| . 数列极限的一个等价定义在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称 为无穷小数列，定义如下： 四、小结：本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：1极限概念的“- N”叙述要熟练掌握，并注意理解，N的双重性。 2用极限定义证明极限时，关键是由任给的0通过反解不等式an-a求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。3同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透着的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符号化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。 例题学习 作业：p27：2（1）、（2），3（2）、（3）、（4），4对于圆周率p的估计，我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早的算书周髀算经（公元700 年）已经谈到“圆径一而周三”，即3p，三国时候（263），三国时期，我国科学家 刘徽就提出了“割圆求周”的思想，直径为1 的圆周分成六等份，
