弹塑性力学

《弹塑性力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹塑性力学（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,弹 塑 性 力 学,李 同 林,2,一、弹塑性力学及其学科分类,二、弹塑性力学的研究对象,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,四、弹塑性力学的基本任务,五、弹塑性力学基本假设,六、弹塑性力学发展概况,七、现代力学的发展及其特点,九、张量概念及其基本运算,八、弹塑性力学基本理论及基本解法,3,2、弹塑性力学,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。,4,二、 弹塑性力学的研究对象,在研究对象上

2、，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。,弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。,5,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,1、弹塑性力学分析问题的基本思路,弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：,6,(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析),对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用，处于 平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）,(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析),材料是连续的，物体在

3、受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条件是什么？（几何相容条件）,7,2、弹塑性力学研究问题的基本方法, 材料力学研究问题的基本方法：,a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简单；c、材料力学的工程解答一般为近似解。,8, 弹塑性力学研究问题的基本方法,1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点；2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。,9,3、工程力学一般研究方法,工程力学解决问题的一般研究方法类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为

4、：,10,四、 弹塑性力学的基本任务,可归纳为以下几点： 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。,11,五、 弹塑性力学的基本假设,（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。,（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。,1、物理假设:,（3）力学模型的简化假设： （A）完

5、全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。,12,2、几何假设小变形条件,（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；,假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：,13,八、 弹塑性力学的基本理论与解法,弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支学科，所求解的大多数问题都是超静定问题。因此，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同的，即对于一个静不定

6、问题的求解，一般都要经过三个方面的分析，这三个方面分别为：（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决。这三方面的方程汇集于下：,弹塑性力学的基本理论框架,14,(1)平衡（或运动方程）：,(2)、几何方程：,(3)本构方程（物性方程） （A）在弹性变形阶段，,（B）在弹塑性变形阶段，屈服函数,增量理论（流动理论）：,则有：,全量理论（形变理论）：,15,（i）Prandtl-Reuss理论,（b）等向强化材料,增量理论（流动理论）：,（i i）Levy-Mises,（a）理想刚塑性材

7、料,（b）等向强化材料,。,16,全量理论（形变理论）：,以 为代表（强化材料）,总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有 3 个平衡微分方程，6 个几何方程和 6 个本构方程，共计 15 个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有： 、 、 15个基本未知函数。因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。,17,任何一个固体力学参量在具体受力物体内一般都是体内各点（x, y, z）的函数，它们满足的方程(泛定方程)相同。 然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的

8、，也就是说，单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。 从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体(表面)与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件；,18,(4)边界条件 （A）应力边界条件：,（B）位移边界条件：,根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为三类。,19,第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。 第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。 第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定

9、位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。,20,弹塑性力学的基本解法:,1位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。 2应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。 3混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法叫混合法。,在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：,21,上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解题方法中经常采用如

10、下方法：,（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。 （2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。,22,、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度,3.应力、应力状态、应力理论,23,必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。,24,、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态, 应力的表示及符号规则,25,.应

11、力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。,据剪应力互等定理 ,应力张量应是一个对称的二阶张量。,26,. 应力分量转换方程,27,、平面应力状态,28, 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的 差异。,29,. 主应力应力主方向应力张量不变量,主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面 主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力 主方向 ：主平面的法线方向即为主方向主单元

12、体：由主平面截取的单元体称为主单元体,理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。,30,则知:,31,32,、最大（最小）剪应力为：, 最大（最小）剪应力作用截面上，一般正应力 不为零，即：,33,.空间应力圆,一点应力状态,用解析法研究,用几何法研究,解析理论,莫尔应力圆,34,.应力张量的分解,35, 通常对于金属材料有：, 岩土材料球应力张量作用，一般也会出现塑 性体变，从而出现奇异屈服面。,36,.平衡（或运动）微分方程,37, 平衡微分方程：,38,.静力边界条件, 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量

13、必定满足这 组方程。, 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。,39, 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。, 关于平面问题的应力边界条件（xoy平面）：,40,例题：试列出图示梁的应力边界条件解。,41,下边界：,左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：,42,4、位移、应变、应变状态、应变理论,研究物体在外力作用下的变形规律，只需 研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究 变形位移。,、位移分量和相对位移分量,43,通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照oxyz坐标即为：, 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。, 位移分量函数不能直接表明物体各

14、点处材料变形 的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。,44,应变的概念：,45,线应变,、涉及受力物体内某一点；、涉及该点的某一方向；、是一个无量纲的物理量。,角应变,、涉及受力物体内某一点；、涉及过该点的某两相垂直方向；、是一个有单位，无量纲的物量。,46, 应变的符号规则：,表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负； 表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。,应变状态.应变张量,受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度，称之为应变状态。 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用表示，即：,47,48, 几何方程：,该式表明

15、了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-Louis Cauchy)几何关系。其缩写式为：,49, 应变状态与应力状态都是二阶对称张量，因此在数 学上两者所遵循的坐标变换法则是相同的。,50,、应变张量的分解,应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量即：,51,、变形连续性条件, 由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一 点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此， 六个独立的应变分量应满足一定的条件。,52, 其数学意义：要求要求位移函数在其定义域内为 单值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条 件。 其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构 成物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内 每一点的位移必定是确定的，即同一点不会产生 两个或两个以上的位移。这就是说，相邻点发生 微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将 出现间隙或重叠现象。,53, 变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应 变之间的协调关系。,