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1、1第第 2 2 课时课时 角度问题角度问题1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)基础初探教材整理 方位角与方向角阅读教材 P14问题 4，完成下列问题.1.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为(如图 1217所示).图 1217方位角的取值范围：0360.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于 90的水平角，如南偏西 60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60.1.下列说法中正确的个数为( )(1)若P在Q的北偏东 44，则Q在P的东偏北 44方向；(2)
2、如图 1218 所示，该角可以说成北偏东 110；图 12182(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；0， 2)(4)若点A在点C的北偏东 30方向，点B在点C的南偏东 60方向，且ACBC，则点A在点B北偏西 15方向.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 (1)错误.因若P在Q的北偏东 44，则Q应在P的南偏西 44.(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为 110.(3)错误.因为方向角的范围为 090，而方位角的范围为 0360.(4)正确.【答案】 A2.某次测量中，A在B的南偏东 3427，B在A的( )A.北偏西
3、 3427 B.北偏东 5533C.北偏西 5533D.南偏西 5533【解析】 如图所示.【答案】 A3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东 20，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a kmB.a km3C.a kmD.2a km2【解析】 如图，可知ACB120，ACBCa.在ABC中，过点C作CDAB，则AB2AD2asin 60a.3【答案】 B4.某人从A处出发，沿北偏东 60行走 3 km 到B处，再沿正东方向行走 2 km 到C3处，则A，C两地的距离为_km.【解析】 如图所示，由题意可知AB3，BC2
4、，ABC150.3由余弦定理得AC2274232cos 150349，AC7.所以A，C两地的距离为 7 km.3【答案】 7小组合作型角度问题(1)如图 1219，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西 40，灯塔B在观察站南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( )图 1219A.北偏东 10B.北偏西 10C.南偏东 80D.南偏西 80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )3A.，60B.，60333C.，30D.，30333【精彩点拨】 (1)两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，
5、说明A与B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东 60，说明CBD是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.【自主解答】 (1)由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE32 m，ABCD 2tan DAE，DE AE2 3234DAE60.【答案】 (1)D (2)B测量角度问题画示意图的基本步骤：再练一题1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h
6、；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h. 【导学号：18082009】【解析】 AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.3【答案】 60 203求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的C处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需
7、的时间.【精彩点拨】 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.【自主解答】 如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理5得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以 212t210281t22109t ，即1 2360t290t1000，解得t 或t(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.2 35 122 3此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，BC sinCABAB sin 120所以 sinCAB
8、，6 32 143 314即CAB21.8或CAB158.2(舍去).即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮.2 31.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.(0， 2再练一题2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地
9、南偏东 60相距 20(1) n 3mile 的海面上有一台风中心，影响半径为 20 n mile，正以每小时 10 n mile 的速度沿2某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1 h 后开始影响基地3持续 2 h.求台风移动的方向.【解】 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，32BC(1)10.326在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.AC2AB2BC2 2ACAB32BAC30，又
10、B位于A南偏东 60，603090180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西 45方向.CD答：台风向北偏西 45方向移动.探究共研型求解速度问题探究 1 某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是 50，距离是 4 km，从B到C，方位角是 80，距离是 8 km，从C到D，方位角是 150，距离是 6 km，试画出示意图.【提示】 如图所示：探究 2 在探究 1 中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？【提示】 如探究 1 图，在ABC中，ABC50(18080)150，由余弦定理得AC4，则此人的最小速度为AB2B
11、C22ABBCcos 1507v8(km/h).4 71 27探究 3 在探究 1 中若投递员以 24 km/h 的速度匀速沿大路从A到D前进，10 分钟后某人以 16 km/h 的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？7【提示】 投递员到达C点的时间为t1 (小时)30(分钟)，追投递员的人48 241 2所用时间由探究 2 可知t2 (小时)15 分钟；由于 301510，所以此人在C点能与投递员相遇.4 716 71 4如图 1220 所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车
12、出发点O点的7距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？图 1220【精彩点拨】 根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.【自主解答】 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI3，OM5，OI4，cosMOI .4 5设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t ，4 5即v22 500252900900，25 t2400 t(1 t8)当t 时，v取得最小值为
13、 30，1 8其行驶距离为vt公里.30 815 4故骑摩托车的人至少以 30 公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.15 4解决实际问题应注意的问题：1首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.2将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题再练一题3.如图 1221，在海岸A处，发现北偏东 45方向，距A处(1)n mile 的B处有3一艘走私船，在A处北偏西 75的方向，距离A处 2 n mile 的C处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此
14、时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ 【导学号：18082010】8图 1221【解】 设缉私船用t h 在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，3在ABC中，AB1，AC2，BAC120，3由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 120336，BC，6且 sinABCsinBAC .AC BC263222ABC45.BC与正北方向垂直.CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD ，BDsinCBD CD10tsin 12010 3t1 2BCD30
15、.即缉私船沿东偏北 60方向能最快追上走私船.91.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东 40，灯塔B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东 10B.北偏西 10C.南偏东 10D.南偏西 10【解析】 如图，因ABC为等腰三角形，所以CBA (18080)50，1 2605010，故答案为 B.【答案】 B2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( )A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】 设水柱高度是h m，水柱底端为C(图略)，
