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1、12.1.22.1.2 数列的递推公式数列的递推公式( (选学选学) )1.理解递推公式的含义.重点2.掌握递推公式的应用.难点3.会求数列中的最大小项.易错点基础初探教材整理 数列的递推公式阅读教材 P29P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：已知数列的第 1 项(或前几项)；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种
2、方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有_.(填序号)根据通项公式可以求出数列的任意一项；有些数列可能不存在最大项；递推公式是表示数列的一种方法；所有的数列都有递推公式.【解析】 正确.只需将项数n代入即可求得任意项.正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.错误.不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到 1,0.1,0.01,0.001，的近似2值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，就没有递推公式.2【答案】 2.已知数列an满足a11，an2an11(n2)，则a5_.【解析】 因为a11，an2an1
3、1(n2)，所以a23，a37，a415，所以a52a4131.【答案】 313.已知非零数列an的递推公式为a11，anan1(n1)，则a4_.n n1【解析】 依次对递推公式中的n赋值，当n2 时，a22；当n3 时，a3a23；当n4 时，a4a34.3 24 3【答案】 44.已知数列an中，a1 ，an11，则a5_.1 21 an【解析】 因为a1 ，an11，1 21 an所以a21123，1 a1a31 ，a41 ，a5123.1 32 33 21 2【答案答案】 3小组合作型由递推关系写数列的项(1)已知数列an满足关系anan11an1(nN N)且a2 0162，则a2
4、 015等于( )A.B.1 31 3C.D.1 21 2(2)已知数列an，a11，a22，anan1an2(n3)，则a5_.【精彩点拨】 结合已知项逐步代入递推公式求解.【自主解答】 (1)由anan11an1，3得an1，1 an1又a2 0162，a2 015 ，故选 C.1 2(2)由题知a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.【答案】 (1)C (2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是
5、首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.an1 2再练一题1.已知数列an的第一项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数2an an2列的前 5 项. 【导学号：18082018】【解】 a11，an1，2an an2a2 ，2a1 a122 3a3 ，2a2 a222 2 3 2 321 2a4 ，2a3 a322 1 2 1 222 54a5 .2a4 a422 2 5 2 521 3故该数列的前 5 项为 1， .2 31 22 51 3数列的最大(小)项的求法已知数列an的通项公式an(n1)n(nN N)，试问数列an有(10 11)没有最大项？若
6、有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【精彩点拨】 【自主解答】 法一：an1an(n2)n1(n1)nn，(10 11)(10 11)(10 11)9n 11当n0，即an1an；当n9 时，an1an0，即an1an；当n9 时，an1ana11a12，所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，即a9a10.1010 119法二：设ak是数列an的最大项.则Error!即Error!整理得Error!得 9k10，k9 或 10，即数列an中的最大项为a9a10.1010 1195求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大
7、项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有Error!对任意的kN N且k2 都成立，解不等式组即可.再练一题2.已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？ 【导学号：18082019】(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.【解】 (1)由n25n40，解得 1n4.nN N，n2,3.数列中有两项是负数.(2)法一：ann25n4 ，可知对称轴方程为n 2.5.(n5 2)29 45 2又nN N，故n2 或 3 时，an有最小值，且a2a3，其最小值为 225242.法二：设第n项最小，由Error!得Er
8、ror!解这个不等式组，得 2n3，n2,3.a2a3且最小.a2a3225242.探究共研型数列的递推公式与通项公式的关系探究 1 某剧场有 30 排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？【提示】 由a120，an1an2 得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN N，n30).探究 2 在数列an中，a13，2，an1 an照此递推关系，你能写出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？6【提示
9、】 按照2 可得2，2，2，2(n2)，将这些an1 ana2 a1a3 a2a4 a3an an1式子两边分别相乘可得222.a2 a1a3 a2a4 a3an an1则2n1，所以an32n1(nN N).an a1探究 3 在数列an中，若a13，an1an2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？【提示】 由an1an2 得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN N)，将这些式子两边分别相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1，(nN N).设数列
10、an是首项为 1 的正项数列，且an1an(nN N)，求数列的通项n n1公式.【精彩点拨】 由递推公式，分别令n1,2,3，得a2，a3，a4，由前 4 项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an1an反复迭代；或将an1an变形为n n1n n1进行累乘；或将an1an变形式1，构造数列nan为常an1 ann n1n n1n1an1 nan数列.【自主解答】 因为an1an.n n1法一：(归纳猜想法)a11，a2 1 ，a3 ，a4 1 21 22 31 21 33 41 31 4猜想an .1 n法二：(迭代法)因为an1an，n n1所以anan1an2a1，从而an .n1
11、nn1 nn2 n1n1 nn2 n11 21 n法三：(累乘法)因为an1an，n n1所以，an1 ann n1则 ，an an1an1 an2a2 a1n1 nn2 n11 2所以an .1 n7法四：(转化法)因为，an1 ann n1所以1，n1an1 nan故数列nan是常数列，nana11，an .1 n由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式.(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式
12、.an an1an an1an1 an2a2 a1再练一题3.已知数列an中，a12，an1an3(nN N)，写出这个数列的前 5 项，猜想an并加以证明.【解】 a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1.证明如下：由an1an3 得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.将上面的(n1)个式子相加，得ana13(n1)，an23(n1)3n1.81.已知数列an中，a11， ，则数列an的通项公式是( )an1 an1 2A.an2nB.an1 2nC.anD.an1 2n11 n2【解析】 a11，a2 ，a3 ，a4 ，观察得an.
13、1 21 41 81 2n1【答案】 C2.符合递推关系式anan1的数列是( )2A.1,2,3,4，B.1, ，2,2，22C.，2, ，2，D.0, ，2,2，2222【解析】 由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只2有 B 符合.【答案】 B3.若数列an满足an12an1，且a816，则a6_【解析】 由an12an1，得an (an11)，1 2a7 (a81)，a6 (a71).1 217 21 219 4【答案】 19 44.若数列中的最大项是第k项，则k_. nn4(2 3) n【导学号：18082020】【解析】 由题意得Error!化简得 又因为k
14、N N，所以k4.【答案】 45.已知数列an满足下列条件，写出它的前 5 项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.2an an2【解】 (1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；9a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)a11，an1，2an 2ana2 ，a3 ，2a1 2a12 32a2 2a21 2a4 ，a5 .2a3 2a32 52a4 2a41 3它的前 5 项依次是 1， .2 31 22 51 3它的前 5 项又可写成，2 112 212 312
