《九年级数学上册专题突破讲练圆中辅助线添加技巧试题（新版）青岛版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册专题突破讲练圆中辅助线添加技巧试题（新版）青岛版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1圆中辅助线添加技巧圆中辅助线添加技巧1.1. 辅助线方法：辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。说明：说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。 方法依据：方法依据：（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2.2. 辅助线方法：辅助线方法：连中点说明：说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。 方法依据：方法依据：（垂径定理推论） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 3 3. . 与切线有关的辅助线作法：与切线有关的辅助线作法： （1）点已知，连半
2、径，证垂直 说明：说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后 证明直线垂直于这条半径。 （2）点未知，作垂直，证半径 说明：说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距 离（d）等于半径(r)。 （3）见切线，连半径，得垂直 说明：说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。 方法依据：方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。例题例题 1 1 O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分APD。 解析：解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等2弦AB=
3、CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线 OEAB，OFCD，易证OPEOPF，得出PO平分APD。 答案：答案：证明：作OEAB于E，OFCD于FAC=BD AAACBDAAABCDAB=CDOEOF OEPOFP OPOP OPE=OPF PO平分APD. 点拨：点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应 用于垂径定理和勾股定理解决问题。例题例题 2 2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC 交于点E，过点E作EDAB，垂足为点D。 求证：DE为O的切线。解析：解析：连接OE，根据等边
4、对等角，由AB=AC得到B=C，再由半径OC与OE相等得到 C=CEO，利用等量代换得到B=CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行， 再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径， 根据切线的判断方法得到DE为O的切线。 答案：答案：证明：连接OE，AB=AC，B=C3OC=OE，C=CEO， B=CEO，ABEO， DEAB，EODE， EO是圆O的半径， D为O的切线。 点拨：点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线， 证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。【思路点拨思路点拨】 几何证明中添加辅助线，其作
5、用主要在于沟通“条件”和“结论” 。具体来说，就是把 分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的 最终解决。 圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺 推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。 例题例题 （合山市模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半 圆相切于点F，且ABCD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（ ）cm2A. B. C. D. 39 3299 3239 329 2解析：解析：将O1移动到O1与O重合，则F和F重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：
6、S=（OB2OF2）（S扇形AOBS三角形AOB） ，求出OFAB，由垂径定理求出1 2 AF=BF=3cm，代入即可得出答案。 答案：答案： 解：将O1移动到O1与O重合，则F和F重合，连接OB，AO， ABCD，AB=6cm，CD=12cm，AB切O1于F， O1FAB， OFAB， 由垂径定理得：AF=BF=3cm，在RtBOF中，BF=3cm，BO=CD=6cm，1 2即BF=OB，1 2BOF=30，由勾股定理得：OF= cm，3 3同理AOF=30， AOB=60，阴影部分的面积是S=（OB2OF2）（S扇形AOBSAOB）1 24=（OB2OF2） +61 22606 3601
7、23 3=BF26+91 23=96+9 1 23=（9）cm2。33 2 故选A。点拨：点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（OB2OF2）（S扇形AOBS三角形AOB）=BF2（S扇形1 21 2AOBS三角形AOB） ，题目的综合性较强。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 一、选择题一、选择题 1. （毕节地区）如图，已知O的半径为 13，弦AB长为 24，则点O到AB的距离是（ ）A. 6 B. 5C. 4 D. 3 2. （娄底）如图，O1、O2相交于A、B两点，两圆半径分别为 6cm和 8cm，两圆的 连心线O1O2的
8、长为 10cm，则弦AB的长为（ ）A. 4.8cm B. 9.6cmC. 5.6cm D. 9.4cm 3. （内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分BAC，则AD的长为（ ）5A. cm B. cmC. cmD. 4cm4 53 55 5*4. 如图，在RtABC中，ACB=90，O为ABC的外接圆，AC=6cm，BC=8cm，P 为BC的中点。动点Q从点P出发，沿射线PC方向以 2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ 长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若P与O相切，则t的值是（ ）A. t=1 B. t=3C. t=2 或t=3D. t=1 或t=4 *5
9、.（日照三模）如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则= =（ ）EF BFA. B. C. D. 1 31 421221 2二、填空题二、填空题 6. （南京）如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=2230，则O的半径为 cm。27. （自贡）一个边长为 4cm的等边三角形ABC与O等高，如图放置，O与BC相切于 点C，O与AC相交于点E，则CE的长为 cm。6*8. （高淳县一模）如图，半径为 2 的两个等圆O1与O2外切于点P，过O1作O2的 两条切线，切点分别为A、B，与O1分别交于C、D，则
10、弧APB与弧CPD的长度之和为 。*9. （温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB。O经过1 4 点E，与边CD所在直线相切于点G（GEB为锐角） ，与边AB所在直线交于另一点F，且EGEF=2。当边AD或BC所在的直线与O相切时，AB的长是 。5三、解答题三、解答题10. （宜宾）已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧上取一AD点E使EBC=DEC，延长BE依次交AC于点G，交O于H。 （1）求证：AC丄BH； （2）若ABC=45，O的直径等于 10，BD=8，求CE的长。*11. （浦东新区二模）已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次
11、截取 AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长。7*12. （上海）如图 1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边4 5 BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧） ，射线CE与 射线BA交于点G。（1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）连接AP，当APCG时，求弦EF的长； （3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长。8一、一、 1. B 解：过O作OCAB于C，AC=BC=AB=12，1 2在RtAOC中，由勾股定理得：OC= =5。2213
12、12故选B。 2. B 解：连接AO1，AO2。O1，O2相交于A、B两点，两圆半径分别为 6cm和 8cm，两圆的连心线O1O2的长 为 10cm， O1O2AB，AC= AB，1 2 设O1C=x，则O2C=10x， 62x2=82（10x）2， 解得：x=3.6， AC2=62x2=363.62=23.04， AC=4.8cm， 弦AB的长为 9.6cm。 故选B。 3. A 解：连接OD，OC，作DEAB于E，OFAC于F，CAD=BAD（角平分线的性质） ，=，CD BDDOB=OAC=2BAD， AOFODE，OE=AF=AC=3（cm） ，1 2在RtDOE中，DE= =4（cm
13、） ，22ODOE9在RtADE中，AD= =4（cm） 。22DEAE5故选A。 4. D 解：作直线OP交O于M和N， 根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点， 如图 1，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AB=10cm， 即O的半径是 5cm， O为AB中点，P为BC中点，OP= AC=3cm，1 2 PM=OMOP=5cm3cm=2cm， 即PQ=2；时间t=22=1（s） ； 如图 2，PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm， PQ=PN=8cm， 时间t=82=4（s） 。 故选D。 5. D 解：连接OE、BC，OE与AC交于点M。 E为弧AC的中点，
14、 易证OEAC， C=90，AOE=45， OEBC，设OM=1，则AM=1，AC=BC=2，OA=，2OE=，2EM=1，2 OEBC，10。21 2EFEM BFBC故选D。二、二、 6. 2 解：连接OB，如图， BCD=2230， BOD=2BCD=45， ABCD，BE=AE= AB=2 =，BOE为等腰直角三角形，1 21 222OB=BE=2（cm） 。27. 3 解：连接OC，并过点O作OFCE于F， 且ABC为等边三角形，边长为 4，故高为 2，即OC=，33又ACB=60，故有OCF=30，在RtOFC中，可得FC=OCcos30=，3 2 OF过圆心，且OFCE，根据垂径
15、定理易知CE=2FC=3。8. 2 解：连接O1O2、O2A、O2B O1A是切线，O2AO1A， 又O1O2=2O2A，AO1O2=30， AO1B=60，AO2B=120，CPD的弧长=，6022 180311APB的弧长=12024 1803APB与CPD的弧长之和为 2。9. 12 或 4 边AB所在的直线不会与O相切；边BC所在的直线与O相切时， 如图，过点G作GNAB，垂足为N， EN=NF，又EGEF=2，5EGEN=1，5又GN=AD=8，设EN=x，则，根据勾股定理得：5GEx，解得：x=4，GE=，22564xx4 5设O的半径为r，由OE2=EN2+ON2 得：r2=16+（8r）2， r=5。OK=NB=5， EB=9，又AE=
