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1、1教案和教案教案和教案说说明明课题课题：几何概型（第一：几何概型（第一课时课时） ）教材：高中数学必修教材：高中数学必修 3（人教版）（人教版）几何概型（第一课时）几何概型（第一课时） 教案与教案说明教案与教案说明一教学目标：一教学目标：21.知识与技能目标 ：初步体会几何概型的意义，深入了解几何概型的两个特征，并会用几何概型求解随机事件的概率。2.能力与方法目标 ：通过大量的生活实例，鼓励学生体验归纳，类比，推断等数学能力，同时更好地培养数形结合的转化能力。3.情感态度和价值观目标 ：让学生了解概率的意义，加强数学与现实生活的联系，增强学生数学思维情趣，以科学的态度去评价身边的一些随机现象，
2、初步形成实事求是的科学态度。二教学重点和难点：二教学重点和难点：1.重点：能理解几何概型的概念和特点，并会用它求解随机事件的概率。 2.难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件 A 的区域和试验的全部结果所构成的区域。三教学方法与手段：三教学方法与手段：1.教法的选择：本课重视学生自主探索、合作交流的学习方式的培养，重视学生多种思维能力的培养，重视突出重点突破难点，并针对一所新学校学生基础相对薄弱的特点，我设计了三个游戏，剪绳子，投镖中奖，取虫子，营造生动活泼的课堂气氛，分别从长度、面积、体积的角度，让学生亲身体验概型的产生背景，自主探索知识的发生、发展过程，以达到自
3、觉应用的目的。2.学法的指导：在学生学法的指导上，让学生在游戏中观察发现，在发现中类比归纳，从而使学生掌握知识，发展思维能力，达到会应用的目的。3.实验材料：长度为 30 厘米的绳子，剪刀，飞镖，镖靶，烧杯，水，豆粒等。四四教学过程：教学过程：（分为以下六个环节）复习回顾，新课铺垫 创设情景，引入新课 归纳探索，形成方法 例题分析，推广应用 回顾小结，提高认识 作业布置，能力升华教学过程 教学 环节教学内容师生活动及设计意图3复习复习 回顾，回顾， 新课新课 铺垫铺垫（1）在区间0，3内任取一个整数，取得的整数 大于 2 的概率是多少？ 基本事件 的特点是否是古 典概型概率（1）教师提出问题，
4、引导学生回忆古典 概型的概念与计算公式，并让学生 回答，老师核对答案，为下面学习 几何概型作铺垫 。创设创设 情景，情景， 引入引入 新课新课（2）若在区间0，3内任取一个实数，则取得的 数大于 2 的概率是多少？基本事件 的特点是否是古 典概型概率（1）有限性和 等可能性是 41（2）将已经做过的题目稍加改变后让学 生思考，使学生认识到试验出现的 结果“无限个”和“等可能”。借此 创设情境, 使学生产生认知矛盾， 老师借此引出几何概型的概念,激发 学生探究几何概型概率求法的学习 兴趣。归纳归纳 探索，探索， 形成形成 方法方法游戏一： 游戏规则 甲乙两人玩游戏，剪绳子定输赢。将一条长度为 3
5、0 厘米的绳子剪成两段，若剪得的两段绳子的长 度都不小于 10 厘米算甲胜。游戏目的 求甲胜的概率。游戏内容 请各小组将长度为 30 厘米的绳子剪成两段。探究过程 （1）把绳子剪成两段称为试验。剪刀在绳子上的 一个落点记为一个基本事件。这种概型是几何概 型吗？所有的基本事件构成了哪个区域？老师从生活中的游戏事例出发，创 设情景，提供几何概型的产生背景。 五个小组各由三名学生将一条绳子 剪断，其它同学仔细观察。各组同 学再根据老师设置的探究问题从解 决游戏问题自觉进入探究几何概型 概率的求解方法。对于探究问题，小组成员先独立思 考，再交流讨论，在讨论过程中同 学之间互相交流，互相影响，互相 启发
6、，这样不仅能促进彼此思维发 展，而且对提高思维的正确性完整4归纳归纳 探索，探索， 形成形成 方法方法AB解析：是几何概型。绳子所在的线段 AB（不包 括端点）。（2）若甲胜（剪得的两段绳子的长度都不小于 10 厘米）,剪刀在绳子上的落点又构成了哪些区域？101030ABCD解析：线段 CD。（3）甲胜的概率是多少？ 解析：由于剪刀落在绳子上的任一点都可以把绳 子剪成两段，故基本事件有无数多个且是等可能 发生的。把绳子三等分，于是当剪刀位置处在中 间一段上时，甲胜。 由于中间一段绳子的长 10厘米，故 P（“甲胜”）31 3010cmcm LLCDAB（4）你能得出什么启示？的区域的长度试验的
7、全部结果所构成的区域的长度构成事件AAP)(游戏二： 游戏规则 某文具店做有奖销售，一次购物满 100 元就可以 投镖一次，假设每次镖都落在靶上，落在靶心表 示中奖，中奖后可得奖金 10 元。性也有很大帮助，同时也便于学会 与人交流合作，养成共同探讨的习 惯，促使智力因素与非智力因素都 得到提高和发展。学生经过一定时间的探索后，老师 找同学回答。对于学生得到的结论， 老师给予积极正确的引导与评价。 学生不仅有探索的成就感，而且也 容易在老师的鼓励下养成钻研问题 的良好个性品质。老师对学生的结果进行补充，使学 生理解当基本事件无限个且等可能 发生时，把思维转向考虑事件发生 的区域。用区域的长度描
8、述事件， 用相应区域的长度比计算概率。从 而探究出公式。通过生活中的实例，让学生体验几 何概型的产生背景，体会数学来源 于生活，又反作用于生活的思想， 培养学生自觉应用数学解决生活问 题的意识。探究问题具有开放性和多元化的特 点，学生由此产生了很多想法，这 对培养学生的发散思维有较好的促 进作用。借助于这些问题让学生感 知当基本事件无限个且等可能发生 时，把思维转向考虑试验的所有结5归纳归纳 探索，探索， 形成形成 方法方法游戏目的 求顾客中奖的概率。游戏内容 请一名同学到讲台上投镖一次，其它同学细心观 察。 探究过程 （1）.若靶的半径为 10 厘米，靶心的半径为 1 厘 米，请帮顾客算一算
9、他中奖的概率。 解析：飞镖可以落在靶上的任意一个位置，所以 基本事件的个数是无限且等可能的，飞镖的所有 落靶点构成了靶所在的圆面。顾客中奖，说明飞 镖落在小圆内的任意一个位置，所有的落镖点构 成了小圆所在的圆面。故可以用区域面积来刻画事件。故 P（“中奖”）1001 100大圆小圆 SS（2）. 你能得到什么启示？ 的区域的面积试验的全部结果所构成的区域的面积构成事件BBP游戏三： 游戏规则 孙悟空为了借到扇子，变成一只小虫子藏在铁扇 公主的杯子里，铁扇公主发现后用小勺子取出虫 子。果构成的区域以及构成某个事件的 区域，用区域的面积描述事件。用 相应区域的面积比计算概率。从而 探究出公式。对于
10、探究问题，小组成员先独立思 考，再交流讨论。学生通过与别人 交流体会经验与教训，学会与人交 流合作，促使智力因素与非智力因 素都得到提高和发展。学生经过一定时间的探索后，老师 找同学回答。对于学生得到的结论， 老师给予积极正确的引导与评价。用妇孺皆知的西游记故事提供几何 概型的产生背景，让学生感受数学 无处不在的勃勃生机和巨大威力， 增强课堂教学的趣味性。借助于问题让学生感知当基本事件 无限个且等可能发生时，把思维转 向考虑试验的所有结果构成的区域6归纳归纳 探索，探索， 形成形成 方法方法游戏目的 求取出虫子的概率。游戏内容 请各组派一名“铁扇公主”，拿起小量杯，从 500ml 的量杯中取出
11、 20ml 水,看看你是否取出了 虫子。探究过程 （1）.你能求出铁扇公主取出虫子的概率吗？ 解析：虫子在水中的位置是无限且等可能的，所 以可以用区域的体积刻画事件。虫子可以落在 500ml 水中的任一位置，只有当虫子落在 20ml 水 中的任一位置时，才能取到虫子，故P（“取到虫子”）251 50020mlml VV原来杯中的水取出的水（2）.这个游戏给你的启示是什么？P（C）的区域的体积试验的全部结果所构成的区域的体积构成事件C（3）.你能发现这三个问题的共同点吗？解析：基本事件的个数都是无限的且每个基本事 件都是等可能发生的。事件的发生只与构成该事 件的区域的长度或面积或体积有关。P（C
12、）体积的区域的长度或面积或试验的全部结果所构成体积的区域的长度或面积或构成事件C（4）填表： 特点计算公式 古典概型 几何概型以及构成某个事件的区域，用区域 的体积描述事件。用相应区域面积 比计算概率。从而探究出公式。对于探究问题，小组成员先独立思 考，再交流讨论，学生经过一定时 间的探索后，老师找同学回答。对 于学生得到的结论，老师给予积极 正确的引导与评价。通过让学生归纳总结，使学生对刚 学过的知识再次加工处理，升华构 建成知识结构。学生一边总结，老师一边核对答案， 使学生清晰地认识古典概型与几何 概型的异同。例题： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多
13、于 10 分钟 的概率是多大？7例题例题 分析，分析， 推广推广 应用应用例题例题 分析，分析， 推广推广 应用应用思考与讨论： 1）这是什么概型，为什么？ 解析:几何概型2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有 基本事件？解析：圆或线段或角3）该如何建立数学模型？ 解析：设 A=“等待时间不超过 10 分钟”,则或 P（A）61圆的周长的弧长扇形OAB或P（A）61 3606000 OAB课堂练习： （1）如图，某人向半径为 R 的圆内投镖，如果 他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概 率问题组的设置，让学生经历分析问 题构建数学模型解决问题 的过程。明确解决问题的关键是： 先要判断
14、该概率模型是不是几何概 型，再要找出刻画基本事件的几何 图形。使本堂课的难点得以突破.老师设置问题，小组成员先独立思 考，再交流讨论，老师点评，必要 时补充新解法，目的是从多个角度 分析一道例题的解法，充分拓展问 题的潜在价值，提高题目的利用率， 培养学生应用数学及发散思维能力。 同时也亮出学习几何概型的优势。61 S)(OAB或圆扇形SAP61 605060)(ABCB LLAP8为（ A） A2 B1 C2 3D1 3（2）如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为450，某人向圆内投镖，如果每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为 （ A ） A18B14C12D34（3）现有 100ml
15、 的蒸馏水，假定里面有一个杂质， 现从中抽取 20ml 的蒸馏水，则抽到杂质的概率为 （ D ）A1 100B1 20C1 10D1 5（4）如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60 度角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA落在xOT 内的概率是（61）OXTYA(5)(本节课提出的问题）在区间0，3内任取一个实数，取得的数大于 2 的概率是（31）（6）你能编一些几何概型的题目吗？通过不同类型的练习让学生在应用 中理解慨念，提高认识，巩固技能， 领悟数学思想方法。编题是一项创 造性的劳动，是知识升华的过程， 能够培养学生应用能力、创造性思 维能力和创新精神。学生先独立做题，再交流，
16、老师核 对答案。9回顾回顾 小结，小结， 提高提高 认识认识知识小结- 思想方法-能力小结 求几何概型的概率-数形结合-动手，观察， 归纳，类比， 推断，合作， 竞争等。探究过程在头脑中重现，学生对本 节课的知识结构形成更清晰的认识, 更深刻地理解数学思想方法在解题 中的地位和应用，并且逐渐培养学 生良好的个性品质。布置布置 作业作业 能力能力 升华升华1设 A 为圆周上的一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，求弦长超过半径2 倍的概率。（ 21）2 在长为 12 厘米的线段 AB 上任取一点 M，并以 线段 AM 为边长作正方形，求这个正方形的面积介于 36 平方厘米与 81 平方厘米的概率。（ 41）3 用棱长为 3 的正方体内任意取一个点，求这
