高中数学选修1-2《独立性检验的基本思想及其初步应用》

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1、第 1 页 共 8 页课题：独立性检验的基本思想及其初步应用课题：独立性检验的基本思想及其初步应用教材：人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 1-2一、教学任务分析一、教学任务分析1. 在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否相关的一种统计方法. 高中数学研究的 是两个分类变量各取 2 个值即 22 列联表的情况：X x1 x2 总计 y1 a b a+b Y y2 c d c+d 总计 a+c b+d n 2. 独立性检验与回归分析都可以判断两个变量的相关关系. 两者既有联系又有区别，回归分析 适用于定量变量的问题，独立性检验适用于分类变量的问题.二、教学目标二、教学目标 （

2、1）能够用列联表、三维柱形图、二维条形图、等高条形图直观地判断两个分类变量是否相 关. （2）了解独立性检验的基本思想，能够按照独立性检验的步骤去检验两个分类变量的关系. （3）通过独立性检验的学习，了解数学在统计与概率中的确定性思维特点，体会直观与抽象、 感性与理性的联系.三、教学重点、难点三、教学重点、难点 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：（1）了解独立性检验的基本思想.（2）了解随机变量卡方 的含义.四、教学方法与手段四、教学方法与手段 采用“活动（课前）问题解决问题总结”的教学方法，即：在教师的引导下，通过开放 性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念

3、的形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，加 强学生能力的培养 利用计算器进行数据计算，通过 Excel 软件作图，通过制作的课件呈现更丰富的教学素材.五、课前准备五、课前准备 （1）布置实习作业 学完1.1 回归分析的基本思想及其初步应用后，让学生完成判断两个变量是否相关的题 目，一类是可以用回归分析解决的（如问题一） ，另一类则不行（如问题二）. 把这两类问题以实 习作业的形式要求学生进行收集数据、整理分析数据、得出结论并进行估计与预测. 作业要求思路 清晰、图文并茂、言之有理. （2）本节课前的实习作业 问题一：课外学习时间与学习成绩的关系 问题二：高中学生是否喜欢音乐与性别的关系第 2 页

4、共 8 页这里是我的一个实习作业的范例。问题一：课外学习时间与学习成绩的关系 日期：_年_月_日 组长： 组员： 问题背景： 在我们学习过程中，常常听到师长的教导，要努力学习啊，学习要多花时间，这么懒怎么取得好成 绩啊等等， 似乎学习成绩与学习时间有很强的相关关系. 在我们的观点中， 学习时间确实与学习成绩有关， 学习时间越多，学的知识也就越多，但并不一定是正相关关系，学习时间越长，并不决定学习成绩就会 越好. 到底在课外一般学习多长时间才最好？课外学习时间在多大程度上决定了学习成绩的高低？ 研究问题分析： 抽样方案： 调查问卷（访问问题） ： 分析数据的方法： 预想过程及组员安排： 成果形式

5、： 过程记录： 成果摘要： 结论： 心得体会： 六、教学流程六、教学流程（一）创设情景，问题引入（二）观察感知，启发引导（三）自主探究，体会思想（四）例题学习，变式巩固（五）知识应用，尝试练习 （六）解决疑问，尝试小结（七）课后作业，自主学习七、教学过程设计七、教学过程设计（一）创设情景，问题引入（一）创设情景，问题引入设计意图设计意图1. 分析实习作业中的问题二： （1）女同学比较喜欢音乐？还是男同学比较喜欢音乐？ （2）你的理由是什么？ （3）如果你认为性别与喜欢音乐是有关系的，那么你的把握有多大？好的问题是进行有意义学 习与主动学习的前提. 在 学生经历了实习作业的基 础上，再提出一些本

6、质问 题，让学生带着问题学习， 激发学生的求知欲.（二）观察感知，启发引导（二）观察感知，启发引导设计意图设计意图2. 概念的提出： （1）分类变量的概念像性别变量其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个 体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. （2）列联表的概念用表格呈现上述问题的数 据, 由此提炼出概念，说 明本节课的学习内容.为 下面的学习内容作好铺垫.第 3 页 共 8 页男男 女女 总总计计 喜喜欢欢 15 20 35 不不喜喜欢欢 20 11 31 总总计计 35 31 66 像上表那样列出两个分类变量的频数表，称为列联表.3. 我们可用以下方法来判断：方法一：计算比例

7、（概率）男同学中喜欢音乐的比例约为：43% 女同学中喜欢音乐的比例约为：65%方法二：图形判断，可用以下图形来判断： (1) 三维柱形图 (2)二维条形图 (3)等高条形图男 女喜欢不喜欢02468101214161820喜欢 不喜欢0510152025303540男女不喜欢 喜欢0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%男女不喜欢 喜欢(4) 其它柱形图、条形图、面积图等让学生从直观上认识到男 和女喜欢音乐的可能性存 在差异，即性别与是否喜 欢音乐有一定关系，同时 让学生意识到直观判断的 方法不够说服力.由此激 发学生寻找其它方法解决 上述问题的兴趣.（三）自主探究，

8、体会思想（三）自主探究，体会思想设计意图设计意图4. 问题：怎样才能精确地判断两个分类变量是否有关呢？我们从比例、图形上可以得到结论：男和女喜欢音乐的可能性 存在差异，但又不能从正面严格证明，所以我们可以考虑什么方法 呢？ 提示：正难则反引导学生发现问题，引导 学生利用正难则反的思路 来解决这个问题.并找到 解决问题的方法：类似反 证法.5. 为使研究的问题更具有一般性，我们用字母代替列联表的中数据：男 女 总计 喜欢 a b ba 不喜欢 c d dc 总计 ca db n 其中 n = a + b +c +d 为样本容量.假设 H0：喜欢音乐与性别无关. 则你能得出什么结论？ 假设 H0：

9、喜欢音乐与性别无关，则男、女学生喜欢音乐的比例差不 多，即dbb caa 按照反证法的思路，提出 假设，并引导学生在假设 H0成立的条件下找出数 据中的关系.从直观方法中的比例入手， 说明问题，并得到判断两 个分类变量是否相关的定 性描述.第 4 页 共 8 页所以 ad bc0. 因此|ad bc|越小，说明我们的假设 H0成立的可能性就越大，即性别 与是否喜欢音乐之间的关系越弱. 反之，亦然.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，统 计学上构造一个随机变量：卡方统计量：)()()()(2 2 dbcadcbabcadn 定性描述含有越大,越弱 等不确定性词语，还没有 真正

10、解决精确判断的问题， 这时根据定性描述引入统 计学中的卡方统计量.6. 怎样用 K2说明两个分类变量是否相关呢？假设 H0：喜欢音乐与性别无关. K2的观测值为：096. 331353135)20201115(662 kH0成立的概率为：P(K22.706)0.10 注：可查出这个概率，是统 计学家估算得出而 3.0962.706H0成立的概率不会超过 0.10，即性别与喜欢音乐无关的可能性不 会超过 0.10.也就是认为性别与喜欢有关这种判断会犯错误的概率不 会超过 10% .我们有 90%的把握认为喜欢音乐与性别有关.得到卡方统计量后，通过 这个具体例子，利用卡方 统计量从定量分析上解决

11、问题，从中体会独立性检 验的基本思想.7. 独立性检验的概念：上面这种利用卡方统计量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个 分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的 一种统计方法. 独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法. 见下表： 由上例概括出独立性检验 的概念，并让学生了解到 独立性检验的作用.了解 本节课的学习重点.回顾独立性检验的推导过 程，与反证法进行比较， 体会独立性检验的基本思 想.第 5 页 共 8 页反反证证法法 独独立立性性检检验验 要要证证明明结结论论 A 要要证证明明 H1：两两分分类类变变量量 X

12、与与 Y 有有关关 假假设设结结论论 A 不不成成 立立 假假设设 H1不不成成立立（即即假假设设 H0：两两分分类类变变量量 X 与与 Y 无无关关） 在在 A 不不成成立立的的前前 提提下下进进行行推推理理 在在 H1不不成成立立（即即 H0成成立立）的的条条件件下下进进行行推推 理理 推推出出矛矛盾盾，则则 A 成成立立 推推出出 H0成成立立的的概概率率很很小小，则则 H1成成立立的的概概率率 很很大大，从从而而 H1成成立立. 没没有有找找到到矛矛盾盾， 反反证证法法失失败败 推推出出 H0成成立立的的概概率率很很大大，接接受受原原假假设设 8. 假设 H0成立的概率：假设 H0：两

13、个分类变量 X 与 Y 没有关系，则 H0成立的概率如 下临界值表：P(K2k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 由上表可得到 H0成立的可信度为：P(K2k0) ,故 H1成立的可信度为：1P(K2k0) 思考：如果 K22.706，就断定 H0不成立，这种判断出错的可 能性有多大？了解临界值表的意义，让 学生知道临界值表中的数 据是 H0成立的概率,而不 是 H1成立的概率,知道如 何利

14、用这个临界值表中的 数据进行解题.（四）例题学习，变式巩固（四）例题学习，变式巩固设计意图设计意图9. 例：为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某 校高中生中随机抽取了 178 名男学生与 122 名女学生，有 35 名男学 生与 37 名女学生不喜欢数学课程，其余的学生喜欢数学.（1）利用图形判断是否喜欢数学与性别是否有关系.（2）能够以 90%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程 之间有关系吗？10. 变式：在上例条件下：（1）能够有多大的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程 之间有关系？（2）能够以 99%的把把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课 程之间有关系吗？（3

15、）若计得卡方统计量的观测值 k = 2.1 呢？一般地，如果题目中没有给出临界值，且当 K2的观测值 k k0？有有(1P(K2k0)100% 的的把把握握认认为为X与与Y有有关关没没有有充充分分的的证证据据 显显示示X与与Y有有关关大大于于2.706且且小小于于k的的值值 都都可可以以是是临临界界值值k0k 2.706？开开始始结结束束是是否否否否是是是是否否在前面练习的基础上，归 纳出独立性检验的一般步 骤，让学生了解这种方法 的程序化步骤，这样可以 让学生更深刻地了解独立 性检验的思想，培养学生 的理性思维.13. 你能否列出本节课学习的内容？你觉得重点有哪些？易错点 有哪些？14. 你

16、在本节课的学习中，还存在什么疑问吗？问题摘录：可以了解学生学习情况， 方便实施针对性的作业， 方便进行教学反思，也为 下一节课提供教学设计材 料.第 7 页 共 8 页（七）课后作业，自主学习（七）课后作业，自主学习设计意图设计意图作业：P18 / 习题 1.2 第 1 题，第 2 题，课后思考（提高能力）： （1）P18 / 习题 1.2 第 4 题 （2）在实习作业中，我们利用回归分析去研究“课外学习时间与学 习成绩的关系” ，对于这个问题，能否应用独立性检验去研究？ 如果可以请用独立性检验去说明这个问题，如果不可以试说明 你的理由.通过作业与思考题，巩固 所学知识，将学生的思维 向外延伸，激发学生的发 散思维，也为下一节课的 学习作好铺垫.板书设计板书设计、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、