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1、1浅谈数学文化融入课堂教学之策略浅谈数学文化融入课堂教学之策略【摘要】：在高中数学课程中融入数学文化是当前高中数学教育的重要研究课题和基本理念。但在教学实践中，高中数学的数学文化渗透仍然问题诸多。本文从案例教学的角度，对数学文化如何融入教学试验性地进行实践性的探索，并总结出具体的教学策略，试图为“数学文化”教育的实践提供一些可以借鉴的途径。具体策略主要有：从历史的角度设计教学，让学生了解数学创造的真实过程；从思想方法的角度设计教学，让学生感悟思想方法的美妙；从数学应用的角度设计教学，提升学生的数学应用意识。【关键词】：数学文化，课堂教学，策略近几年来，高中数学教育理论有个新的转向即如何引导高中
2、数学教学从应试型向文化型教学转变。 普通高中数学课程标准明确指出：“数学文化是高中数学内容不可分割的一部分” ；“数学课程应适当反映数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生逐步形成正确的数学观。 ”1从标准的表述可以看出，数学的文化价值已作为数学教育中的一个新的基本理念被提出。数学文化渗透应贯穿和渗透于高中数学的每个模块，立足于课堂教学。但在教学实践中，高中数学的数学文化渗透仍然问题诸多。笔者曾与很多同事交流过数学文化的问题，大多教师表示中学数学教育需要数学文化教学，但是在学校、社会片面地关注升学率、分数教育现实面前，实施数学文化教育无异于纸上谈兵。事实上大多数
3、教师仅认可这种观点却无行动。对于“如何体现数学的文化价值” 、 “在数学文化教育中如何实施教学策略”等相关问题，均没有时间也没有动力去作深入的思考。笔者尝试从案例教学的角度出发，选择自己认为相对容易开发的概率统计模块2，对数学文化如何融入教学试验性地进行了一些实践性的探索，并从中总结出一些教学策略，试图为“数学文化”教育的实践提供一些可以借鉴的途径。一、一、 从历史的角度设计教学，让学生了解数学创造的真实过程从历史的角度设计教学，让学生了解数学创造的真实过程由于数学结果缺少直观性，数学普遍被认为太抽象、太复杂、太枯燥、太难懂，所以人们通常对数学采取敬而远之的态度。实际上，这是人们的一种误解。数
4、学中有许多重要的概念、思想和方法都来源于人类的现实需要，中小学数学课程中的绝大部分内容，都可以找到数学与社会互动的相应素材。数学史就是我们寻找素材，进行教育加工的非常重要的资源库。 “数学史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。 ”3在概率统计教学中，我们可以结合数学史，选取与教材中的概念、定理、思想产生和发展过程的相关知识，追寻历史故事、引入史实，数学名题等，解释数学知识的现实（是什么）和来源（为什么） ，让学生了解数学创造的真实过程，启迪学生的思维。例如在学习人教版数学（必修 3）第二章统计中的线性相关一节时，按照高中数学教学大纲的教学要求
5、，在教材内容的基础上，我把历史上发展近十年才逐渐完善的最小二乘法加工浓缩为一个故事，一边讲述，一边和学生一起探求最小二乘法的原理。以下是几个主要教学环节。高中数学论文2（用 PPT 展示）：1.最小二乘法的历史背景1801 年 1 月，意大利天文学家皮亚齐发现了一颗从未见过的小行星。据说刚发现不久，他就病倒了，等病好时，已过了几个月，那颗小行星却怎么也找不到了。当时有名的天文学家都加入了对这颗小行星的寻找，却徒劳无获。1801 年 9 月，高斯决定用数学方法寻找这颗小行星的踪迹。3 个月后，天文学家在高斯预测的轨道位置再次发现了这颗小行星。高斯因为此事名声大震，但他却拒绝透露计算小行星轨道的办
6、法。师：我们试想高斯测得了这样一组数据：。如何根据这些观测数据来( ,)(1,2,3, )iix yin估计小行星的位置呢？ 有学生直观的想法就是把，的平均值点作为小行星的估计值。ixiy(1,2,3, )in师：我们举个例子来看这种想法可行吗？例如对一段公路，进行测量，假设次实际测量n值为，可是每次测量都有一定的误差，这些误差或正或负，或大或小，应该如12,nx xx何估计公路的实际长度。大家说取平均值可以吗？师：可以，说说为什么？生 1：设这段公路的真实长度为，则所有数据的误差平方和为，然后当其最小a21()ni ixa时，可求得就是各测量值的平均数。a师追问：这里为什么要加平方？直接把每
7、个求和最小可以吗？ixaixa生 1：因为误差有正有负会抵消掉。师：就是说，从整体上看待所有的误差，不能让误差因符号抵消掉。那么先变成绝对值，再求和，可以吗？ixa生 1：与方差定义类似，有绝对值不太好算，转化为平方和，才能使计算可行。师：讲得非常好。最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。这里的“二乘”指的是用“平方”来度量观测点与估计点的远近。在古汉语中称“平方”为“二乘”，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。（用 PPT 展示）：2.最小二乘法的来龙去脉8 年后，直到高斯系统地完善了相关的数学理论，才将他的方法公布于他的著作天体
8、运动理论中，这就是“最小二乘法” 。 师：我们回到测小行星的问题上来。这里的观测点是二维的，该如何表示观测点和估计点的距离的平方和呢？设观测值的估计值为( ,)iix y( ,)iix y生 2： 22()()iiiixxyy师：特别当各个和相应的估计值相等时，就等于。 ixix2()iiyy3假设把这组数据画散点图，发现它们在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，记为。我们怎样来求这条直线的方程？ ybxa 学生畅所欲言，把他们的想法列举出来：（1）回归直线是过散点最多的直线；（2）回归直线是使上下点基本平均分布的直线；（3）回归直线是过两个端点的直线；
9、（4）回归直线是经过样本中心的直线；（5）回归直线是各点与之距离最小的直线；（6）多画几条直线，取它们的斜率、截距的平均数作为回归直线的斜率、截距。然后思考以上各种方法是否合理？有无道理？哪条“最合适”？如何用数学方法得到回归直线？引出需要进一步探索的问题。这时，学生很自然的会认为，回归直线应该从整体上看各点与之距离最小的直线，而不能仅看几个观测点。师：如何用数学符号表示从整体上看最近？生： 最小21()nii iyy因为估计值点均在回归直线上，=最小。( ,)iix y21()nii iyy21()nii iybxa老师在散点图中可以作图示说明。然后推导出回归系数1221nii i ni i
10、x ynx y b xnxaybx 从回归系数中发现很有意思的事情是：估计得到的直线一定经过观测点的中心。 ybxa ( , )x y师：如果施化肥量kg 和水稻产量kg 之间的回归方程为解释回归系数xy4.75257yxb（4.75）的意义。师：当=28kg 时，代人方程=390 有什么意义？ x4.75257yx（用 PPT 展示）：3.最小二乘法的优先权风波但早在 1805 年，法国科学家勒让德（17521833）发现了作为解决线性方程组的最佳方法，即最小二乘法，勒让德由此严斥高斯剽窃别人的研究成果，从而引起了二者之间的优先权之争，在这个过程中，高斯的数学成就一度遭人质疑和责难。事实上，
11、最小二乘法最早是为解决线性方程组用的。在实际应用中，常常有许多个方程而且其系数不是整数而是计算到很多位小数的实数。勒让德第一个发表了最小二乘法思想，并影响了统计学。高斯没有引用勒让德的结果，也设计了对方程组的系统消去法使得方程组更容易求，而且高斯详尽阐述了最小二乘法为合理的根据，使得勒让德那里只是处理测量数据的代数方法逐渐渗透到统计数据分析的领域。11(,)xyA A22(,)xyA A44(,)xyA A33(,)xyA A ybxaxyo4师：在高斯宣布自己发明了这一方法时，引起了与勒让德的发明优先权之争。原来高斯早先发现了一个误差函数，由此推导出了最小二乘法。其中描述了“如果观察误差(
12、)x( )x是由许多小的、独立的误差相加组成的，正误差与负误差同样的可能，并且集中点靠近零”4。即高斯用最小二乘法进行估计时，在误差分析中发现，线性模型的所有无偏估计类中，最小二乘估计是唯一的方差最小的无偏估计，也就是说误差的分布是“正态”的。这一点由于立刻得到许多按经验得出的证据的支持，特别是弗里德里希贝塞尔对几百颗星球作了三组观测，并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值，结果表明它们非常接近一致。正因为高斯发现了最小二乘法理论中的重要结果，使得最小二乘法对统计学就像微积分对于数学的影响一样深远，所以后人经常把最小二乘法归功于他。（用 PPT 展示）：4.最小二乘法在统计中的影
13、响由于最小二乘法之与线性模型的联系十分紧密，所以它获得了统计学家的高度评价。如有统计史家认为，最小二乘法之于统计学的重要性，犹如微积分之于数学。也有学者称最小二乘法是十九世纪统计学的“中心主题” 。如今，线性模型已经成为理论结果最丰富、应用最广泛的一类回归模型。这样的数学课新颖有趣，一下子把学生的注意力吸引过来，激发主动学习。真实的历史背景给学生提供了一个现实情境，使最小二乘法的教学主题容易为学生接受，也揭示出最小二乘法思想的源头，从而为更好地理解最小二乘法奠定基础。同时数学家追求真理的科学精神为学生树立了榜样，启发学生学习数学要亲自投入，勇于提出问题，发表自己的看法，并在讨论交流中共同进步。
14、数学家的成功让学生意识到追求真理是一件非常快乐的事情。若能为人类文明做出一些贡献，那更是一个非常幸福的事情。二、从思想方法的角度设计教学，让学生感悟思想方法二、从思想方法的角度设计教学，让学生感悟思想方法的美妙的美妙形式化是数学的特征之一。学生看到的数学大多是教材中的数学，这里的概念是已经准确定义的，这里的定理也已经是严密的逐字推理的，呈现在学生面前的文本是高度抽象化的形式符号，这些数学符号晦涩难懂，如果课堂上教师只是照本宣科，学生哪会有兴趣去思考，也不会有激情去积极建构数学知识，更谈不上去欣赏数学的冰冷美丽了。因此对一些基本的核心概念，不仅要注意知识的结果，更要还数学于本来面目，让学生在原始
15、的火热思考中领会数学的本质。这样的教学才能产生强大的引力场。概率统计中有大量动手操作性的实验学习活动，就是教学的引力场源。 “学数学就是做数学” 。教学中应设计丰富多彩的师生互动，穿插数学实验等探究活动，引导学生在数学化过程中“再创造” ，鼓励学生亲身经历并进入数学的生成发展过程，使课堂既有知识性又有趣味性。如在教学随机事件的概率时5，教师可以设计下面的数学实验：（1）在画有等距平行线的纸上，随机地抛掷一枚牙签；（2）两个学生一组，进行试验，每组试验 20 次，并记录牙签与平行线有交点的次数；（3）将全班数据逐组进行汇总成频率表，并完成下图 (用线连接各点)：520406080100120 1
16、40160180200220240260280300320340360380400 420总总次次数数相相交交的的频频率率牙牙签签与与平平行行线线相相交交的的累累计计频频率率统统计计图图0.20.10.40.30.60.50.80.71.00.9（4）观察累积数据的频率表和折线图，你发现了什么规律？ 以上第（4）环节是本节内容的难点，需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义，教师可以利用计算机，计算出累积各组数据的频率，然后绘制出折线图，从数或形两个角度观察累积数据的频率 体现出了一定的“稳定性” ，即规律性，使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小，并形成概率的统计定义。 最后教师还可以在折线图中绘制一条水平的红线，更为清晰的表现出频率在常数附近摆动的规律，帮助学生发掘、描述规律。
