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1、 例谈向量法解几何题的优越性例谈向量法解几何题的优越性【文章摘要】本文着重通过例子说明应用向量法解答一些几何题的优越性。向 量法解几何题 可减少“确定角的位置” 、 “确定距离的位置” 的论证过程，减少立体几何问题的论证、探求的难度。我们在教学 中可引导学生创新出更多更好的思维和方法，提高学生的分析能力 和创新能力。 【关键词】 “向量法” 、 “几何问题” 、 “求角” 、 “求距离” 。【正文内容】向量是新教材新增加的内容，高中阶段学的向量有平面向量和空间向量两 部分，其中空间向量是平面向量的推广和拓展。有了向量，在数学，尤其是几 何中的研究产生了较大的影响。向量作为一种工具，在一定程度上
2、可以使空间 的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的 思维方式。在研究解析几何、立体几何的问题中，向量，特别是向量的坐标表 示，有独特的优越性。下面通过几个例子谈谈用向量来解决一些几何问题的优 越性。一、用向量进行证明一、用向量进行证明 例例 1证明：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条 直线垂直于这个平面。 已知：m,n 是平面内的两条相交直线,直线l与的交点为 B,且lm, ln, 求证: l. 方法一方法一(几何方法) 分析:在内平移 m,n,使它们都通过点 B B此时仍有lm, ln, 过 B 点在内作任一条不与 m,n 重合 的直线 g,
3、在l上自点 B 起在平面的两侧分 别截取 BA=BA,于是 m,n 都是线段 AA的 垂直平分线,它们上面的点到 A,A的距离相 等,如果我们能证明 g 也是 AA的垂直平分 线即可。在 g 上任取一点 E,过点 E 在内作不通过点 B 的直线,分别与 m,n 相 交于点 D,C, 容易证明CDACDA 进而又可证明CEACEA 于是 EA=EA，gl 方法二方法二(用向量) 证明:在内作不与 m,n 重合的任一条直线 g ,在l,m,n,g 上取非零向量 l, m, n, g, 因 m 与 n 相交，得 nm,向量不共线，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y）,使 nymxg，
4、nlymlxgl.0., 0. nlml 0. gl gl lg l方法二与方法一相比较, 方法二显得精练,简洁些,又不用作太多辅助线.二、用向量求距离二、用向量求距离 例例 2 2 如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都 等于 1，且两两夹角都为 60。求 AC1的长。解： 11CCACAC 1AC2=1AC2=(1 CCADAB)2= 112122 .2.2.2CCADCCABADABCCADAB=1+1+1+2cos60+2cos60+2cos60=661 ACAC1的长为6 .三、用向量求角三、用向量求角 用向量不仅可以求两向量夹角还可以求两异面直
5、线所成角，线面所成的角， 二面角，特别用向量求二面角更显示其优越性。值得注意的是：用cos baba，求两异面直线所成角时，要注意异面直线所成角的范围（0，90）即当 cos., ba=5151040131001)2(32221nnnn515arccos,21 nn互补平面角与二面角21,nnDACB,515arccos二二二二二二二二二DACB.)2 , 0 , 1 (),0 , 3, 0(),0 , 3, 1(),2, 0 , 0(DADCBCAB四、用向量解解析几何问题四、用向量解解析几何问题例例 4 4 椭圆14922 yx的焦点为 F1、 F2 ，点 P 为动点，当F1PF2为钝角时
6、，点 P 的横坐标的取值范围是 。 （2000 年高考题）解：解：由椭圆方程知焦点 F1（0 ,5） ，F2（0 ,5） ，设点 P（x 0，y 0） ，则),5(001yxPF ),5(002yxPF F1PF2为钝角，cosF1PF2 = 0 |2121 PFPFPFPF，即 021 PFPF (x 0 + 5 ) (x 05) + y 02 0 即 x 02 + y 02 5 又 P (x 0，y 0) 在椭圆上，1492 02 0yx即 y02 = 494x 02代入 得： x 02 + 494x 02 5 所以 x 02 59， 所以 5535530x即点 P 的横坐标的取值范围是)
7、553,553(。如果用常规的方法，用两点间距离公式才能将坐标与边长，用余弦定理将 边长与角联系起来；但采取向量的方法可以大大减少繁琐的计算，使得解答过 程简单明了。 当然，用向量解决以上问题并不是唯一的方法，但它是解决以上问题的一 种有力工具。向量在高中数学中的优越性并不止这些，在此不一一列举了。掌 握用向量方法解决问题，不仅可以达到问题解决的目的。还可以在解题过程中 感受到成功的喜悦，何乐而不为呢？总之在解决问题的时候，要注意多角度考 虑，应因时、因地制宜。这样做了，还会创新出更多更好的思路和方法。我们 在教学中应注意引导学生加强知识之间的联系，提高学生的分析能力和创新意 识。【参考文献】 （1）东北师大学出版社 袁桐 编著 数学教学大纲与教材分析 （2）中国人民大学书报资料中心 中学数学教与学（3）中学教科书（试验修订本必修） 数学 第二册（下 B）
