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1、第三章 杆件系统的有限元分析,所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多；杆件系统可分为平面杆件系统和空间杆件系统，若组成结构物的杆件都在同一个平面内，外力也在这一平面内，则称为平面杆件系统； 若组成结构物的杆件不在同一个平面内，则称为 空间杆件系统；杆件系统中所用的单元主要为梁单元，如果各杆件只在轴向上受拉压作用则采用杆单元。,有限元分析包含两个基本环节：单元分析 和 整体分析单元分析 - 建立单元的节点力和节点位移的关系整体分析 - 建立整个连续体的平衡方程,3.1 桁架结构杆单元,单元节点力列阵,单元节点位移列阵,1、单元刚度矩阵 单元节点力列阵和单元节点位移
2、列阵的关系,假设节点位移为,单元各个节点力分量为,第一个下标表示节点力的节点号和方向，第二个下标表示发生单位位移的节点和位移方向。,同样，假设节点位移为,单元各个节点力分量为,当各节点位移分量均不为零，且在线弹性范围内时，各节点力分量应为各个节点位移分量引起的节点力分量的线性叠加，即,写成矩阵形式,简写为,其中， 称为单元刚度矩阵，表征了单元抵抗变形的能力。,由材料力学可推导出节点力分量与节点位移的关系：,单元刚度矩阵对称矩阵,2、结构总体刚度方程,列出所有单元的单元刚度方程，例如单元,按照力的平衡条件，各单元对节点的作用力与作用在该节点上的外载荷应该平衡。,得出整个结构的平衡方程,简写为,其
3、中，K 称为结构总体刚度矩阵， R 称为结构总体载荷列阵。,因此结合边界条件，即位移约束 ，即可解出其它各节点位移分量，进而计算出各杆的应力和应变。,8个方程，8个未知数但是考虑到包括支反力在内的作用于结构上的所有外载荷应该是静力平衡的，即,这样只有5个方程是独立的，因此有无穷解。从物理意义考虑是由于桁架未给予约束，可以产生刚体位移，致使节点位移不唯一。,3.2 直梁梁单元,梁单元,单元节点力列 阵,单元节点位移列 阵,1、单元刚度矩阵 单元节点力列阵和单元节点位移列阵的关系,简写为,其中， 称为单元刚度矩阵，表征了单元抵抗变形的能力。,令 时，有,单元刚度矩阵元素的物理意义,一般地，当第n（
4、n1,2,3,4）个位移分量为1，其余位移分量为0时，对应的节点力为,由功的互等定理可知,即单元刚度矩阵是对称矩阵。,设单元的长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I。当 时 ，相当于在节点 j 处安置了一个固定端。由梁的变形公式，有：节点 i 处的挠度为,节点 i 处的转角为,联立上面两式，可得,由静力平衡条件，可得,根据单元刚度矩阵元素的物理意义，有,当 时 ，同样，由梁的变形公式和静力平衡关系，有,最终得到单元刚度矩阵,2、结构总体刚度方程,列出所有单元的单元刚度方程,单元,单元,单元,按照力的平衡条件，各单元对节点的作用力与作用在该节点上的外载荷应该平衡。 以节点2为例,得出整个结构的平衡方程,简写为,其中，K 称为结构总体刚度矩阵， R 称为结构总体载荷列阵。,因此结合边界条件，即位移约束 ，即可解出其它各节点位移分量，进而计算出各单元的应力和应变。,8个方程，8个未知数但是考虑到包括支反力在内的作用于结构上的所有外载荷应该是静力平衡的，即,这样只有6个方程是独立的，因此有无穷解。从物理意义考虑是由于梁未给予约束，可以产生刚体位移，致使节点位移不唯一。,
