第8章 时间序列分析(2)

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1、第8章 时间序列分析Time Series Analysis8.1 时间序列的分解 8.2 指数平滑 8.3 ARIMA模型 8.2 指数平滑 Exponential smoothing l8.2.1 单参数（一次）指数平滑 l8.2.2 双参数指数平滑 l8.2.3 三参数指数平滑指数平滑方法的基本原理l指数平滑是一种加权移动平均，既可以用来描述时 间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。 l指数平滑预测的基本原理是：用时间序列过去取值 的加权平均作为未来的预测值，离当前时刻越近的 取值，其权重越大。 式中： 表示时间序列第t+1期的预测值；表示时间序列第t期的实际观测值；表示时间序列第

2、t期的预测值；表示平滑系数，01。8.2.1 单参数（一次）指数平滑l单参数指数平滑的模型为：适用场合l单参数（一次）指数平滑适用于不包含长 期趋势和季节成分的时间序列预测 l如果原序列有增长趋势，平滑序列将系统 的低于实际值l如果原序列有下降趋势，平滑序列将系统 的高于实际值平滑系数的确定l选择合适的平滑系数是提高预测精度的关键。l如果序列波动较小，则平滑系数应取小一些，不 同时期数据的权数差别小一些，使预测模型能包 含更多历史数据的信息；l如果序列趋势波动较大，则平滑系数应取得大一 些。这样，可以给近期数据较大的权数，以使预 测模型更好地适序列趋势的变化。 l统计软件中可以根据拟合误差的大

3、小自动筛选最 优的平滑系数值。初始预测值的确定l初始预测值的确定l等于第一个观测值 l等于前k个值的算术平均l适用场合：单参数（一次）指数平滑适用 于不包含长期趋势和季节成分的平稳时间 序列预测 案例分析l新卫机械厂销售额的单参数指数平滑预测l分析预测创建模型方法选择“指数平 滑”;根据需要设置“条件”。l拟合情况与2年的预测值（下页图）。lSPSS Statistics 估计的a=0.689.l拟合数据的MAPE=12.847%.单参数指数平滑的图形结果8.2.2 双参数指数平滑l双参数指数平滑包含两个平滑参数l适用于包含长期趋势、不包含季节成分的 时间序列预测。l其基本思想是：首先对序列选

4、定其随时间 变化的线性模型，再通过对序列水平和增 长量分别进行平滑来估计模型中的参数。双参数指数平滑模型l第一个平滑方程得到原序列经趋势调整的平滑值 ，第二个平滑方程是对增量进行指数平滑。初始 值取为:应用实例l利用指数平滑法对我国人均原油产量（单位 ：公斤/人）进行预测。 。l从图形看具有增长 趋势，可以用双参数 指数平滑法进行 预测。应用实例l软件操作：分析预测创建模型方法选 择“指数平滑”;根据需要设置“条件”（选择Holt 线性趋势模型）l由SPSS软件搜索出的最终平滑系数 、 ， 分别为1.00和0.001，预测2007-2010年我国 人均原油产量的预测值分别为：141.74 14

5、2.56 143.37 144.18 图形双参数指数平滑预测新卫机械厂 的销售收入l估计的a=0.018，b=0.000.l历史数据MAPE=9.837%.预测图形8.2.3 三参数指数平滑对于包含季节变动（和长期趋势）的时间 序列进行预测常用温特（Winter）指数平滑 法。该法包含三个平滑系数，是依据时间序列 的乘法（或加法）结构模型，在每一步平 滑中将原始时间序列分解成趋势成分和季 节成分并对它们分别进行平滑。三参数指数平滑模型预测公式 (L为季节长度)例子：销售额时间序列 l某企业1990-2002年各月销售额数据。 Example : 销售额时间序列的温 特指数平滑预测l软件操作：分

6、析预测创建模型方法选择“指 数平滑”; 设置“条件”，选择季节性模型中的 “Winter(冬季）加法或乘法模型），这里选的是乘 法模型。l从图形看拟合效果很好。Example : 销售额时间序列的温 特指数平滑预测8.3 ARIMA模型l 8.2.1 平稳时间序列模型 （ARMA模型）l 8.2.2 ARIMA模型 ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average时间序列的平稳性l随机时间序列分析的一个重要概念是平稳性。l时间序列平稳性的直观含义是指时间序列没有明 显的长期趋势、循环变动和季节变动。l 从统计意义上讲，如果序列的一、二阶矩存在， 而

7、且对任意时刻满足：(1)均值为常数；(2)协方差 仅与时间间隔有关，则称该序列为宽平稳时间序 列，也叫广义平稳时间序列。非平稳序列 平稳序列时间序列的平稳性（图形）是互不相关的序列，且均值为零，方差 为 （即为白噪声序列）,一般假定其服从正 态分布。 为零均值平稳时间序列 1 平稳时间序列模型（1）ARMA模型的基本形式 lP阶自回归(Autoregressive)模型AR(p)平稳时间序列模型滑动平均(Moving Average)模型-MA(q)自回归滑动平均(Autoregressive and Moving Average)模型 ARMA(p,q) 一个模拟的AR(1)序列一个模拟的M

8、A(1)序列有均值项的ARMA模型l 对于均值是否为零未知的情况下，建模时 需要给ARMA模型加上一个均值项。lAR模型：lMA模型lARMA模型(2) ARMA模型的识别与估计 Box-Jenkins 的模型识别方法：根据ACF和PACF确定模型的形式。自相关函数(ACF)描述时间序列观测值与其 过去的观测值之间的线性相关性。偏自相关函数(PACF)描述在给定中间观测 值的条件下时间序列观测值与其过去的观 测值之间的线性相关性。 模型（序列） AR(p) MA(q) ARMA(p,q) 自相关函数 拖尾 第q个后截尾 拖尾 偏自相关函数 第p个后截尾 拖尾 拖尾拖尾是指以指数率单调或振荡衰减

9、， 截尾是指从某个开始非常小（不显著非 零）。 Box-Jenkins 的模型识别方法 Example：一个零均值时间序列下图图中横线为0两倍标准差，可以判断ACF和 PACF是否显著非零）。可以看出ACF呈拖尾状，PACF 第2个后截尾，可初步断定序列适合AR(2)模型。 一个零均值时间序列的ACF和PACFACF拖尾PACF截尾模型阶数的确定l对于AR或MA模型，利用ACF和PACF判定 模型类型的同时也就初步断定了模型的阶 数。l 对于ARMA模型来说，用ACF和PACF判 定其阶次有一定的困难。此时可以借助于 下面介绍的信息准则。模型阶数的确定（ARMA）*l 实际中常用的准则函数是A

10、IC信息准则和BIC信息 准则（也称为Schwarz信息准则，记为SIC），使 准则函数达到极小的是最佳模型。 是对序列拟合ARMA（p,q）模型的残差 方差，N为观测值的个数。相对于AIC信息准则， BIC信息准则更多的考虑了模型的参数个数。 ARMA模型的参数估计对时间序列所适合的ARMA模型进行初步识 别后，接下来就需要估计出其中的参数， 以便进一步识别和应用模型。主要的参数估计方法有矩估计法、最小二 乘估计法和极大似然估计法等，一般都由 计算机软件实现，这里不作介绍。 （3）ARMA模型的适应性检验 模型的适应性检验主要是残差序列的独立 性检验。残差序列可由估计出来的模型计 算得到。如

11、果残差序列的自相关函数不显 著非零，可以认为是独立的。 例1：AR模型l 对前面例子，由SPSS可以得到参数估计，模型 表达式为：l括号中为参数的t检验值，各参数都是显著的。例1：AR模型l由下图可以看出残差不存在显著的自相关性，可以认为是 独立的，因而模型是适应的。例2：MA模型l根据某化学过程读数拟合ARMA模型。例2：MA模型ACF PACFl根据ACF可以尝试MA(2)模型l根据PACF可以尝试AR(1)模型MA(2)模型l模型的正态化的BIC=4.969lR2=0.179MA(2)的拟合效果图残差自相关图（MA(2)模型）l根据残差自相关图判断MA(2)模型是适合的。建立AR(1)模

12、型的结果l也就是l模型的正态化的BIC=4.91；R2=0.166l根据BIC分析 AR(1)要好一点。AR（1)的拟合效果图残差自相关图（AR(1)模型）l根据残差自相关图判断AR(1)模型是适合的。8.2.2 ARIMA模型l 在实际问题中我们常遇到的序列，特别是 反映社会、经济现象的序列，大多数并不 平稳，而是呈现出明显的趋势性或季节性 。l对于有趋势性时间序列通常采用ARIMA模 型进行分析。l对于有季节性的时间序列可以采用乘积季 节ARIMA模型进行预测。由于这类模型比 较复杂，本课程不做介绍。差分（Difference)运算ARIMA模型需要用到差分工具。用原序列的每 一个观测值减

13、去其前面的一个观测值，就形 成原序列的一阶差分序列：l对一阶差分后的序列再进行一次差分运算， 称为二阶差分。差分（Difference)运算l一阶差分可以消除原序列存在的线性趋势。 有时候需要进行高阶差分才能够使得变换后 的时间序列平稳。l大部分经济时间序列进行一阶或二阶差分后 都可以变为平稳序列。l对有季节性的时间序列，进行季节差分（当 年的可以消除季节成分：ARIMA模型l 一般地，如果d阶差分序列 是平稳的， 并且适合ARMA（p,q）模型，即l也就是l因为求和是差分运算的反运算，所以该模型称 为求和自回归滑动平均模型，记为 ARIMA（p,d,q）。该序列有增长的趋势，首先对其进行一阶

14、差分，原序列 及一阶差分后序列如图所示。 Example8.4：某中部省会城市房 地产价格数据ARIMA模型例子l 差分后序列的自相关和偏自相关函数如下 图所示。可以看出ACF第一个后截尾， PACF呈拖尾状，初步判定差分后序列适合 MA(1)模型，即原序列适合ARIMA(0,1,1)模 型。 由SPSS得到参数估计lBIC=10.763模型的残差自相关l下图为残差序列的自相关函数，可以认为 是独立的，对房地产价格数据建立的 ARIMA(0,1,1)模型是适应的。利用该模型可以对房地产价格进行预测，下 图是实际值、拟合值以及预测值图示。 实际值、拟合值以及预测值图示ARIMA(1,1,0)模型

15、lBIC=10.838，略高于ARIMA(0,1,1)。模型的残差自相关（ARIMA(1,1,0)l下图为残差序列的自相关函数，可以认为 是独立的，对房地产价格数据建立的 ARIMA(1，1，0)模型是适应的。ARIMA(1,1,0)模型。 实际值、拟合值以及预测值图示SPSS Statistics 可以自动选择 p, d, p的值l在实际应用中，可以让SPSS 软件根据设定 的规则自动筛选“最优”的模型。l在“方法”中选择“专家建模器”，在“条件”中 选择ARIMA模型。l在例8.4中， 不指定p d q的值，SPSS Statistics 选择的是ARIMA(0,1,1)模型。l时间序列预测的一个基本假设是：现象在过去的 发展趋势会在未来保持下去。如果外部环境发生 了重大变化，预测结果很可能是不可靠的。l对历史数据拟合最好的模型预测效果不一定是最 好的。l复杂的模型不一定比简单的模型预测效果好。l实际应用中不能机械的根据模型的评价指标选择 模型，而应结合定性的分析。 关于统计预测的几点说明本章小结l1、时间序列分解：长期趋势分析、季节变动分析、循环变动分析、分解法预测l2、指数平滑预测法单参数（一次）指数平滑 双参数指数平滑 三参数指数平滑l3、ARIMA模型模型识别 模型检验 预测