《§1.6全概率公式与贝叶斯公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§1.6全概率公式与贝叶斯公式（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 全概率公式与在前面学习中，我们知道概率的加法公式和 乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许 多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节 我们学习另外两个概率公式全概率公式和贝 叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率 计算问题的四大公式 贝叶斯公式 1一、全概率公式 BA1A2A3A4A6A7A5A8定理1.7 若 构成一个完备事件则对于任何事件组，且 B，有 2证 分配律 有限可加性 乘法公式 3原因事件 结结果事件全概率公式 解决由因索 果问题问题 每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式 ”之“全”取为此意.4学生成 绩好 B 原
2、因5例1.22 一批产品共8件，其中正品6件，次 品2件现不放回地从中取产品两次，每次一件 ，求第二次取得正品的概率 结于求 是发生的两个不同的“原因” 与构成一个完备事件组，即 与解 记 问题归由全概率公式，所求概率 6我们把例1.22稍稍作一些改动，可获得一 个有趣的结果例1.23 一批产品共8件，其中正品6件， 次品2件现不放回地从中取产品三次，每次 一件，求第三次取得正品的概率 解 记 7由全概率公式，所求概率 问题归结于求 与构成一个完备事件组，即 是发生的四个不同的“原因” 与89从件数一定的正品和次品组成一批产品中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！ 若把抽到正品视为中奖，则
3、上面的结论简单叙述为 ： 中奖的概率与摸奖的顺序无关！ 小结例1.22和例1.23的结果：10例1.24 某工厂有四个车间生产同一种计 算机配件，四个车间的产量分别占总产量的 15%、20%、 30%和35%，已知这四个车间的次 品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01现在从 该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品 的概率是多少？ 2，3，4，B=抽到次品=2.15%解 令 由全概率公式11二、贝叶斯公式 证 由条件概率的定义、乘法公式及全概率定理1.若 构成一个完备事则对于任何事组，且 件，有 12贝叶斯公式是在“结果”已经发生条 件下，寻找各“原因”发生的条件概率：贝叶斯公式本质
4、上解 决追根溯源问题公式，13例如，某生“学习成绩好”这个结果发生 了，我们可以探讨是由于“学习环境良好”促成的概率有多大它可以帮助人们确定某结果（事件 B） 发生的最可能原因14根据以往经验确定的一种主观概率，而后者贝叶斯公式实际上是利用先验概 率去求后验概率概率，“结果” B发生的条件下各“原因”的概率为后验概率，前者往往是通常称各“原因”的概率为先验是在结果B发生之后对原因的重新认识15例1.25 (续例1.24) 若该厂规定，一旦发 现了次品就要追究有关车间的经济责任现在 从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品， 但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落， 问厂方如何处理这件次品比较合理
5、? 具体地讲 ，各个车间应承担多大的经济责任? 解 从概率的角度考虑可以按的大个车间的经济责任小来追究第在前面的计算已经求得 16于是，由贝叶斯公式可得同理可得，17由此可知，各个车间依次应承担27.91%、27.91%、27.91%和16.28%的经济责任. 这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个车间的产量占总产量的35%，但是它的次品率是最低的，它生产的次品只占总次品的16.28%.在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶斯公式来解决一个较复杂的问题.18例1.26 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率19由题设可得(1) 问题归结于求解 设20的所有的不同的原因构成一个完备事件组，是 发生根据全概率公式，有 21(2)问题归结为求由条件概率的定义可得下面我们先求由条件概率的本来含义得到22根据全概率公式 23再求 由条件概率的本来含义得到 24将以上求得的各个值代入(1.7)式，得所求概率为 又根据全概率公式 25
