晶体内部结构的微观对称和空间群

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1、结晶学与矿物学下面是第7章: 晶体内部结构的微观对称和空间群晶体内部结构的微观对称和空间群 晶体微观对称要素 二维空间群 空间群结晶学与矿物学 晶体微观对称元素晶体微观对称元素 晶体结构中可能出现的对称元素，包括两部分： 宏观对称元素: 对称心,对称面，对称轴(倒转轴) 只能在作无限图形的晶体结构中才能出现的微 观对称元素。特点是，在它们的对称操作中都包 含有平移动作。晶体内部结构的微观对称和空间群 平移轴(translation axis)为一直线方向，相应的对称变换为沿此直线 方向平移一定的距离。对于具有平移轴的图 形，当施行上述对称变换后，必可使图形相 同部分重复，亦即带个图形复原。在平

2、移这 一对称变换中，能够使图形复原的最小平移 距离，称为平移轴的移距。 晶体结构中的行列均是平移轴 平移轴有无限多晶体微观对称元素晶体微观对称元素 螺旋轴(screw axis)：是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为：一根假想 的直线及与之平行的直线方向。相应的对称变换为围绕 此直接旋转一定角度和沿此直线方向平移的联合。 有2, 3, 4, 6 次四个轴次 分为21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65等11种晶体微观对称元素晶体微观对称元素 滑移面(glide plane):亦称象移面, 是一种复合的对称要素。其辅助几何要素 有两个：一个假想的平面

3、和平行此平面的某一直线方 向。相应的对称变换为：对于此平面的反映和沿此直 线方向平移的联合，其平移的距离等于该方向行列结 点间距的一半。 分为a, b, c, n, d 等5种晶体微观对称元素晶体微观对称元素晶体内部微观对称元素晶体内部微观对称元素 螺旋轴(screw axis)- ns 21 31、32 41、42、43 6l、62、63、64、65 l l滑移面滑移面( (glide plane)glide plane)FFa a、b b、c c、n n、d d 晶体中可能的晶体中可能的 对称元素及其对称元素及其 符号符号 二维空间群 10种二维点群 4个二维晶系晶系对称元素特征点群符号单

4、胞参量布拉维单胞单斜m有1或21, 2a b, 90mp正交o有m1m, 2mma b, = 90op,oc四方t有44, 4mma = b, = 90tp六方h有3或63, 3m, 6, 6mma = b, = 120hp二维空间群 10种二维点群的投影二维空间群 5种二维点阵类型17种二维空间群 晶系和 点阵符号点群符号二维空间群国际符号空间群 序号完全的简短的 单斜 p1p1p11 2p211p22正交 p, cmp1m1pm3 p1g1Pg4 c1m1cm52mmp2mmpmm6 p2mgpmg7 p2ggpgg8 c2mmcmm9四方 p4p4p4104mmp4mmp4m11 p4g

5、mp4g12六方 p3p3p3133mp3m1p3m114 p31mp31m15 6p6p616 6mmp6mmp6m17二维空间群的表示For example: For example: 第第7 7号二维空间群号二维空间群p p2 2mgmg由上到下由上到下( (x x方向方向) )的对称元素的对称元素格子类型格子类型1 12 23 3垂直纸面方向的对称元素垂直纸面方向的对称元素从左至右从左至右( (y y方向方向) )的对称元素的对称元素二维空间群的表示For example: For example: 第第7 7号二维空间群号二维空间群 P P2 2mgmgx x, , y y；-x-x

6、, , -y -y；1/2-1/2-x x, , y y；1/2+1/2+x x, , y y空间群 空间群(space group)的概念一个晶体结构中一切对称要素的集合。晶体总共只能有230 种不同的空间群。 一个空间群可看成是由两部分组成的，一部分是晶体结构中所有平 移轴的集合，称为平移群；另一部分就是点群, 即晶体宏观对称要素 的集合。 晶体中可能的平移群有14种, 与14种布拉维格子类型对应。 空间群的符号包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。国际 符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉维格子 的符号，按格子类型的不同而分别用字母P、R、I、C、F等 表示之。后半

7、部分则是其他对称要素之集合的符号，类似于 点群符号的表达, 但有的被微观对称要素取代.空间群点群点群布拉维格子布拉维格子空间群空间群 二维二维 10 10种种 5 5种种 17 17种种 三维三维 32 32种种 14 14种种 230 230种种晶体内部结构所有对称元素的集合晶体内部结构所有对称元素的集合! !空间群空间群的空间群的国际国际符号符号p p2 2mgmg由上到下由上到下( (x x方向方向) )的对称元素的对称元素格子类型格子类型1 12 23 3垂直纸面方向的对称元素垂直纸面方向的对称元素从左至右从左至右( (y y方向方向) )的对称元素的对称元素PnmaPnma (#62

8、)(#62)1 12 23 3格子类型格子类型空间群空间群的空间群的国际国际符号符号PnmaPnma (#62)(#62)1 12 23 3格子类型格子类型晶系三个位所表示的方向(依次列出)等轴ca+b+ca+b001111110 四方caa+b001100110 斜方abc100010001 单斜b 010 三斜任意方向任意方向 三六方ca2a+b0011002101 1 1 12 23 3 3 32 2空间群 等效位置(equivalent positions)在晶体结构中，能借助于空间群之各个对称要素的作用 而相互系起来的一组点所分布的空间位置。 通常只考虑在一个单位晶胞范围内的情况，即

9、在单位晶胞中，彼 此能对称重复的各个结构位置，构成一个等效位置组; 把等效位置抽象成几何点, 该集合便称为等效点系; 晶体结构中的空间群，对应于宏观晶体中的点群；而等效位置组 的概念，则相似于单形的概念。空间群 空间群的空间群的等效点系等效点系( (set of equivalent positionsset of equivalent positions) ) 空间群中对称元素联系起来的一套点集空间群中对称元素联系起来的一套点集 特殊等效点系特殊等效点系vs.vs.一般等效点系一般等效点系 Wyckoff Wyckoff符号符号 单形单形晶体外形晶体外形宏观宏观 等效点系等效点系 内部结构内

10、部结构微观微观空间群 方解石方解石- -CaCOCaCO3 3 space group = R-3cspace group = R-3c Z Z = 6 = 6，在单胞内含有在单胞内含有3030个原子个原子 Ca Ca占据占据6 6a a位置位置0, 0, 00, 0, 0； C C占据占据6 6b b位置位置0, 0, 0, 0, O O占据占据1818e e位置位置x x, 0, , 0, （x x = 0.275 = 0.275） 其他其他2727个原子的位置个原子的位置?空间群的对称性使得原本复杂的事物描述起来是如空间群的对称性使得原本复杂的事物描述起来是如 此简单此简单! !空间群

11、空间群的表达方式空间群的表达方式 晶体学国际表晶体学国际表 International Tables for Crystallography International Tables for Crystallography 空间群和相应点群的序号和符号空间群和相应点群的序号和符号 对称元素和一般等效位置配置图对称元素和一般等效位置配置图 原点的对称性原点的对称性 通过原点的对称元素通过原点的对称元素 不对称单元不对称单元 等效点系等效点系空间群 PnmaPnma(#(#62)62)重复点数Wyckoff 符号点位置上 的对称性等效点的坐标8d1x,y,z; -x+1/2,-y,z+1/2; -x,y+1/2,-z; x+1/2,-y+1/2,-z+1/2; -x,-y,-z; x+1/2,y,-z+1/2; x,-y+1/2,z; -x+1/2,y+1/2,z+1/2 4cmx,1/4,z; -x+1/2,3/4, z+1/2; -x,3/4,-z; x +1/2, 1/4,-z+1/24b-10,0,1/2; 1/2,0,0; 0,1/2,1/2; 1/2,1/2,04a-10,0,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,0; 1/2,1/2,1/2See “230SpaceGroup”See “230SpaceGroup”